从江苏高考试题谈辅助圆在解题中的运用

蒋天林

2019年高考江苏卷第4题考查的是天体运动，好多考生感到比较“东方红一号”运行速率时有困难，若作一辅助圆，则可顺利攻克这一难点。同样，当求解其他一些物理问题感到困惑时，通过作辅助圆也会有“豁然开朗”的感觉，使问题迎刃而解。现举例剖析可借助辅助圆进行求解的物理问题。

1.借助“轨道圆”求解天体运动问题。

点评：求解本题的关键是画出变轨前的“轨道圆”，以便比较v1、v3的大小。

2.借助“等时圆”求解时间问题。

在一竖直圆面内，从竖直直径上端沿不同方向放置一些长短不同的光滑弦，下端都在同一竖直圆周上，则物体从静止开始沿不同弦从上端滑到下端，所用时间相等。该圆称为“等时圆”。

例2 一间新房要盖屋顶，为了使下落的雨滴能够以最短的时间淌离屋顶（屋顶的底边长度相同），则所盖屋顶的顶角应为如图3所示四种情况中的（假设雨滴沿屋顶下淌时是在光滑的斜坡上由静止下滑）（

）。

解析：作等时圆O如图4所示，A点为圆的最低点，将四个斜面画在一起，它们的底边是AB，使得∠CAB=15°，∠DAB=30°，∠EAB=45°，∠FAB=60°，四个斜面与圆弧分别交于N、D、M、F四点。由等时圆的特点可知，tAN=tAD=tAM=tAF，所以tAC >tAD=tAF>tAE，即雨滴沿斜面EA运动的时间最短。

答案：C

点评：本题利用“等时圆”的结论大大简化了解题的过程。

3.借助“等势圆”求解电学问题。

在由点电荷形成的电场中，以点电荷为圆心的圆周上各点的电势相等，该圆称为“等势圆”。

例3 如图5所示，倾角θ=30°的直角三角形的底边长为2L，且处于水平位置，斜边为光滑绝缘导轨。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，方向垂直于纸面向外。现在底边中点O处固定一正点电荷Q，将一质量为m的带正电的点电荷q从斜边顶端A处由静止释放沿斜边滑下（不脱离斜边）。现测得它滑到D點在斜边上的垂足E处时的速度为v0，求点电荷q滑到斜面底端C处时的速率v。

解析：点电荷q在沿斜边从E点运动到C点的过程中，受到重力、弹力、静电力、洛伦兹力的作用，弹力、洛伦兹力不做功，静电力的大小和方向在不断变化。由几何关系得x EO=xCO =x DO，以O为圆心，以OC长为半径画一辅助圆，C、D、E三点均在此圆上，如图6所示。固定于圆心O处的点电荷Q在该圆上各点产生的电势相同，即φD=φE=φC，因此点电荷q从E点运动到C点的过程中静电力不做功。点电荷q从E点运动到C点的

点评：本题利用“等势圆”找出了E、C两点在同一等势面上的关系，判断出静电力不做功，使问题变得简单易解。

4.借助“轨迹圆”求解磁学问题。

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹是圆，该圆称为“轨迹圆”。

例4 如图7所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里。许多质量为m、带电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射人磁场区域。不计粒子自身重力和粒子间的相互影响。如图8所示四幅图像中的阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=mv/qB，则正确的是（

）。

解析：带电粒子以相同的速率从同一位置垂直于磁场向各个方向射出时，它们的运动轨迹都是半径R=mn/qB的圆。作出速度沿ON方向的粒子的轨迹圆，如图9中的实线圆所示。粒子从小孔O射人磁场区域的速度方向在ON到 OM这180°的范围内，可以等效成粒子速度方向从ON方向逆时针旋转180°，粒子的运动轨迹等效为图9中的实线圆绕O点逆时针旋转180°。

答案：A

点评：当大量的带电粒子以相同的速率从同一位置垂直于磁场向各个方向射出时，所有粒子的运动轨迹都是半径相同的圆，通过旋转“轨迹圆”可以找到这些不同的圆，同时也可以找到粒子可能经过的区域范围。

“轨道圆”“等时圆”“等势圆”“轨迹圆”等是求解物理问题时常用的辅助圆，借助辅助圆往往可以使得物理问题的求解变“山穷水尽”为“柳暗花明”。

（责任编辑 张巧）