一道与相似有关的问题的拓展

魏祥勤

一些中考试题是以课本例题或习题为模板通过改编而设计的探究型问题.下面以人教版数学九年级下册第58页“拓广探索”的一道练习题为例，对与相似有关的锐角三角形内接正方形求边长的问题进行探究，并把问题进一步拓广，探究锐角三角形内接矩形面积最大值的求解问题，以及半圆形内接矩形面积最大值的计算问题.

例1 （人教版数学九年级下册第58页第11题）如图1，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120 mm，高AD=80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形EFHG的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.这个正方形零件的边长是多少？

变式1：如图2，锐角三角形ABC中，BC=120 mm，高AD=80 mm，矩形EFHG是△ABC的内接矩形.当矩形EFHG的边长分别是多少时，矩形EFHG的面积S最大？60 mm时，面积最大，

变式2：如图3，在直径是120 mm的半圆中，画出矩形EFHG，使得E，F两点位于半圆弧上，两点G，H位于直径AB 上.当矩形边长分别是多少时，矩形EFHG的面积最大？

探究三角形的内接矩形的最大面积时，综合运用了相似三角形及二次函数等知识.探究半圆的内接矩形的最大面积时，综合运用了圆的有关性质、完全平方公式，其实由变式l与变式2可得到一般结论：（1）任意三角形的内接矩形的最大面積是原三角形面积的一半，此时平行于三角形一边的矩形的边是三角形的中位线.（2）半圆的内接矩形的最大面积是圆半径长度的平方，此时矩形的长是半径长度的√2倍.