“反比例函数与相似三角形问题”的复习课课例分析

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）52-0085-02

一、教学背景分析

笔者吴博思老师在深圳市九年级数学教研会上为全市初中数学老师上了一节中考专题复习示范课。反比例函数是在学生学习了一次函数、二次函数的基础上开始学习的，反比例函数的教学一方面丰富了用函数思想分析问题、解决问题的经验，也为学生构建数学模型奠定了基础，在中学数学体系中占有重要的地位。作为九年级第一轮复习课，学生已经学过了《反比例函数》和《相似三角形》全章的知识，掌握了反比例函数的概念、图像、性质，初步具有对反比例函数的有关问题进行合作探究的意识与能力，会用反比例函数的知识解决一些简单问题。为了与时下的中考热点相结合，为大家提供一节有价值的复习课，笔者所在的备课组全体老师全力以赴、共同研究，经过反复几轮的备课、上课、评课等磨课活动，最终成功地展示了一节“反比例函数与相似三角形”的高效复习课。下面笔者谈谈这节课的教学设计与反思，希望给同行一点启发。

二、教学设计分析

设计分析：

初中阶段最重要的三个相似三角形数学模型分别是“A字型”、“一线三等角模型”、“双垂直模型”，也是学生思维重要的切入口。通过三道热身训练，让学生捕捉到反比函数当中隐藏的相似三角形的模型，通过辅助线的添加能够进一步呈现模型。设计的目的就是抓住学生的心灵，激发学生的思维，为接下来的问题引入埋下伏笔，突出反比例函数与相似三角形结合的教学意图，顺理成章引出本节课的课题——反比例函数与相似三角形问题。本环节注重夯实知识点，对于反比例函数与相似三角形的综合应用采用启发式教学，通过课前热身的训练指导学生进行知识的自我整理、自我质疑，通过自我挑战，达到自我提高的目标。本环节将由学生自行探索题目中所蕴含的相似三角形模型，一方面可培养学生的表达能力，另一方面又能培养及时归纳总结的好习惯。

2.慧眼识图

（1）在解决反比例函数问题时，我们常添加的辅助线是过反比例函数上的点做____的____，构造与k值相关的直角三角形。（请在右图画出）

（2）从上面的题目当中，你可以发现哪些常见的数学模型？（请在下方画出来）

设计分析：通过上一个环节的热身训练，学生迅速找到解决反比例函数题目一般辅助线的添加方法，就是过反比例函数图像上一点作坐标轴的垂线，构造与k值相关的直角三角形。从而将反比例函数与相似三角形几个基本模型结合起来解决反比例函数的综合问题。常见的几何模型如下：

3.综合运用

设计说明：第一问的设置，可以通过过点A作x轴垂线来构造A字型，亦可通过过点A作y轴垂线来构造X字型，在运用同底等高、面积比与相似比关系可以快速的得出k的值。有一部分学生通过直线解析式来求得三角形的底边和高作为题目切入点也应给予肯定。本题的解法具有多样性，可以从不同的角度入手，培养学生一题多解的能力以及思维拓展能力，渗透数形结合思想。第二问的设置在第一小题的基础上加上了旋转的问题，本质上还是通过构造与k值相关的三角形，从而得到一线三等角模型，可快速得到答案。第三问的设置，通过构造与k值相关的三角形，再利用双垂直模型，结合射影定理可以找出满足条件的三个点。解决反比例函数图像问题与面积问题的核心知识就是构造与k值相关的三角形，目的是让孩子通过构造与k值相关的三角形，从而结合相似三角形模型以及结论来快速得到问题解决。

4.变式训练

设计意图：通过构造一线三等角模型，从而通过相似三角形的面积比是相似比的平方，可以快速得到角度的正切值。此题，加深学生的识图能力、观察能力和数学建模思想。

5.课堂小结

本节课可归纳为：构造与k值相关的三角形，构建基本几何模型，运用思想方法，找到通解解法。

设计分析：本节课的教学重点是探究反比例函数图像与基本几何模型的问题。解决此类问题的关键是：（1）抓住基本图形，与k值相关的面积三角形;（2）构建基本几何模型，如A字型，一线三等角，双垂直模型等;（3）运用思想方法，如同底等高思想，相似比与面积比，射影定理等，这样问题就能达到高质量高效的解决。从而体现数学教学思想中的数形结合思想和转化思想。

三、总结

数学如同一道营养大餐，这里需要老师适当添加佐料，调其色，增其香，美其味，使之成为人见人爱的佳肴。在数学教学中，我们要不断地渗透数学思想，如数形结合、转化思想等等。我们要不断地激发学生的思维兴趣，培养学生的识图能力、观察能力和建模的能力。通过这节课后，与学生的交谈发现，学生以前特别害怕解决反比例函数的综合问题，往往孩子们无从下手。而通过这节课学生学会了解决这一类问题的简捷方法。教学水平的高低，很大程度取决于课堂教学设计。通过对数学问题多角度、多层次的思考，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通、使思维在所学知识中游刃有余、灵活变通，实现在无穷的变化中领略数学的魅力，使学生心目中枯燥乏味的数学变得生机盎然。数学复习课老师要把握好的方法，力求精准设计、激活思维。精准设计就是题目的设计要有针对性，对学生普遍存在困惑的问题和错误率较高的题目要予以重点剖析，做到精准的从题目中提取考点和模型，准确运用所提取的模型和方法来分析问题、解决问题。激活思維就是不能仅局限于为解决一道题目而讲解一道题目，而应该在精准设计的基础上能够激活学生的思维，渗透重要数学思想。学生通过本节复习课的学习，能够灵活运用自己探索出来的数学方法，做到一题多解或一解多题。这样不仅可以巩固知识，而且可以从中找到哪一种是最基本、最典型的方法，哪一种是最简便的方法。使学生掌握解题的共性共法。同时，也使学生知道不同对象要不同对待，要针对各种题型不同的特点，采用特定的解法。这样举一反三，可以起到事半功倍的作用，摆脱题海战术，真正从应试教育向素质教育转变。在复习课教学过程中， 要坚持自主、合作、探究、交流的教学原则，给予学生充分思考的空间，使学生在主动思考探究的过程中自然的获得了方法。