高中生数学抽象素养生成路径探析

董 伟，朱立明，靳小玲

（唐山师范学院 教育学院，河北 唐山 063000）

《普通高中数学课程标准（2017 版）》（以下简称《课程标准（2017 年版）》）明确提出高中数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面[1,p4]。其中，数学抽象居于首要地位。从词源角度来看，“抽象”（abstraction）来自拉丁语“abtrahere”，其中“ab”是有“离开”之意，“trahere”有“拖、拉”之意。因此，抽象直观的意义是把什么东西从什么地方拖出来，使之离开。《课程标准（2017 年版）》将数学明确界定为“研究空间形式和数量关系的科学”，数学抽象的对象是图形、数量及其关系，从现实世界的事物中抽取出数学的规律、结构、概念、本质，并用数学语言对之予以表征，它是一种数学思维过程，也是一种非常重要的数学核心素养。

随着科学技术的高速发展，人们的生活日益多元化，现代社会要求人们具有能适应未来复杂多变的社会生活所必需的品格和关键能力，即核心素养。数学凝聚着科学的精神和理性的思维，数学学科的核心素养契合了时代要求，而数学抽象是数学核心素养中最为重要的思维能力，它以独特的方式认识世界，是公民无论从事任何职业都不可缺少的基本素养。因此，如何培养数学核心素养尤其是数学抽象素养，成为我们所关注的一个基础教育焦点问题。

《课程标准（2017 年版）》明确了数学抽象的表现形式，即获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。本文从这四个方面着手分别对其进行解析，并提出相应路径，以期促进学生数学抽象素养的提升。

1 通过情境创设，获得数学概念

数学概念在数学抽象的四个“表现”形式中处于首要地位。数学抽象实际上是通过对概念的解析构建来获得对事物本质属性的认识。有些一线教师为追求高考成绩，节省课堂时间，只对数学概念做最简单的讲解说明，然后让学生花大量的时间做应用练习，这种教学模式，使得学生对概念的理解和应用处于一种肤浅的层面，无法对学生数学抽象能力的培养起到应有的作用。

数学研究的对象是现实世界，数学问题与现实情境紧密相连，高中生虽然处于逻辑思维迅速发展的阶段，但形象思维仍然发挥着重要作用，从具体形象的场景入手，有利于激发学生学习数学的兴趣和求知的动机，如教师可以带一些气球到课堂中，让学生观察吹气球的过程，通过教师的引导鼓励学生发现规律：气球半径增加的速度与气球内空气容量增加的速度成反比；进而诱发学生思考：这种现象如何用数学知识来解释呢？由此引入了变化率的相关知识。这就将数学知识与学生的现实生活建立了关联，这种生动形象的情境创设，容易激发学生学习兴趣，使他们更自主建立新旧知识之间的“统觉”联系，唤起认知结构中原有相关知识经验，或改变原有认知结构，以同化或顺应当前新知识，完成对事物本质属性即概念的清晰牢固的认知与构建。除此之外，引入其他学科的资源设计数学问题，引导学生从大量具体实例中抽象出一般的、概括性的知识，并尝试让学生用自己的语言去凝练总结共性的本质的知识。这一通过亲身操作获得概念的过程，也是数学抽象素养得到提升的过程。

数学规则包含数学的公理、定理、法则、公式，数学规则是数学命题的一部分，联结着数学概念与数学问题解决。每一个数学规则都是通过对一个或者多个数学概念概括抽象获得，例如三垂线定理、对数的运算法则、函数的求导公式，其中都包含了多个数学概念。数学概念在一定程度上是数学规则形成的基础，从抽象程度来看，数学规则的抽象要远比数学概念抽象程度高得多，它是对数学概念的一种形式化、符号化的提炼。学生在获得数学规则的过程中，需要理解数学家们所构造的数学规则的结构，对其中所包含的一些基本概念进行还原，再根据自身经验，进行抽象重构，因此，厘清数学概念之间的关系，构建数学概念的结构网络，理解数学规则中各要素之间的关系及其运作方式，对数学规则的获得至关重要。

2 基于深度学习，感悟数学思想

数学发展的历史源远流长，凝结了古往今来无数劳动人民以及数学家、哲学家的智慧。数学不仅以一种独特的语言传递了客观世界运行的规则和定律，而且它兼具思想与智慧之美。数学思想“是对数学内容、方法的根本认知，是对数学内容和方法进一步的抽象和概括”[2]。通俗来说，数学思想是人们在长期认识数学、学习数学的过程中经过提炼和升华而来的超越知识和形式结构的认识，它是数学的灵魂，具有广泛的指导意义。数学思想能帮助我们在科学和日常生活中运用数学思维解决问题，建立科学的数学观念，促进数学核心素养的形成。作为高中的基础性学科，数学教育的目标不能只定位于基本运算公式和定理的掌握，还要有意识地培养学生对数学思维的感悟，实现数学教学从知识教学为本到以思想感悟为要的本质性飞跃。

“数学教学内容不仅是一个数学知识的逻辑体系，更重要的是通过知识反映所包含的数学思想方法。”[3]如何实现从注重数学知识本位的教学到注重数学思想教学的跨越式发展，深度学习模式或为我们提供了一种解决思路。郭元祥认为深度学习是基于知识的内在结构，以实际问题的解决和高阶思维的发展为主要旨趣，为学科思想和意义系统的理解而学[4]，而数学思想的教学是通过超越表层知识深挖知识背后思想的教学，学生在这种教学模式下，数学思想得到了浸润，进而提升了数学抽象素养。

数学知识逻辑严密、高度关联，加强学生的深度学习，教师首先需要自己理解数学的本质，尊重数学知识逻辑发展的连贯性，深入挖掘数学知识、技能中蕴藏的思想观念。教师如何利用数学课堂揭示数学知识背后蕴含的思想方法，德国数学家克莱因提出可以从“高观点”来讲解数学知识，即用高等数学的知识与方法来指导初等或中等数学的教学，因为前者的知识结构和逻辑性更为深厚，高中教师可以从高等数学中体会知识背后所蕴含的数学思想，站在一定高度审视数学教学，更容易把握数学的本质，将抽象、晦涩的知识变得简单易懂，有利于对学生思想高度的引导[5]。教师深厚的数学功底可以帮助学生开阔眼界，激发他们的学习兴趣，更深刻地理解数学知识的内涵，领悟数学家用数学思想方式思考问题的意识，培养学生的数学抽象能力。

3 借助学科融合，构建数学模型

数学本身是抽象的，数学知识是在对具体的现实原型进行抽象之后而得来的，我们称这个抽象过程为数学建模，也就是通常意义上的数学模型的建构过程。数学建模源于对现实问题的数学抽象，换句话说，就是用数学语言表达现实问题、用数学科学方法构建模型解决现实问题的能力和素养[6]。在数学建模过程中，数学与现实就是构建数学模型的两个出发点，数学模型的构建既会渗透数学学科多个模块的知识，也会涉及跨学科的知识。事实上，大多数数学模型都以相应学科背景为基础而命名，如我们所熟悉的医药学中的专家诊断模型和疾病靶向模型，生物学中的基因复制模型和种群增长模型，地质学中的地下水模型和板块构造模型，管理学中的人力资源模型和投入产出模型等等。在化学、物理学这些自然科学领域，数学模型的应用非常普遍。

学科融合的理念是在承认学科之间存在差异的前提下，强调学科之间的相互融合、渗透和交叉，使课程内容跨越学科之间的界限，最大程度体现知识的全貌。如对逻辑推理和定量分析能力要求较高的高中物理，与数学有高度的相似性，很多物理问题都需要借助数学知识来解答，教师在教学实践中要注意融合数学知识和物理知识，促进学生有意识地用数学模型去解决常见的物理问题。学科融合还应避免简单拼凑不同学科知识的倾向，要以解决问题为根本取向，把相关学科知识有机地组织在一起。这对教师提出了高要求，教师在日常生活中要注意多涉猎不同学科门类的知识，养成跨学科思维的方法和能力，不断培养学生基于学科融合的视角认知事物并探究问题的能力。

4 应用建构理论，内化数学结构

布尔巴基学派是一个数学家群体，在现代数学史上有巨大的影响力，他们最先引进了“数学结构”这一概念，认为数学是研究结构的科学，数学的各种理论之间的关系是可以系统化的，数学各分支应按结构性质来划分，他们首次提出数学是由序结构、代数结构和拓扑结构组成的观点。与其他数学派别相比，布尔巴基学派提出了一种崭新的数学思想，即结构主义思想。结构主义思想对反映数学知识的整体脉络及其内部关联起着重要的作用，引领了20 世纪30 年代以来数学发展的方向。简单来说，结构就是全部核心知识相互关联而构成的整体体系[7]。《新课标（2017 版）》明确提出，认识数学结构与体系是最高层次的抽象，这种抽象，有助于学生对数学知识的发生和发展、数学体系的建构、完善等过程有进一步深刻和清晰的认知。高中数学结构与体系分为三个部分：（1）陈述性知识，比如概念、公理、性质等方面；（2）结构性内容，数学是具有严密的逻辑性的，这就决定了数学知识不是杂乱无章的，是按照一定的逻辑结构构成的条理清楚、层次分明的网格结构；（3）策略性内容，即能提升学生发现、剖析和解决问题能力的内容，如函数和方程的呈现，化归和转化的理念等。

如何让这些由数学研究者和数学教材编撰者所搭建起来的数学结构体系内化到学生的认知结构中，本文认为依据建构主义学习理论可以很好地解决这一问题。建构主义学习理论流派认为，学习是促进学生主动建构的过程，而不是教师将知识简单传递给学生的过程。建构主义学习理论指导下的数学学习要求学习者在学习数学知识、技能和思想的过程中，须经过主动感知、消化和改造，将新的内容合理地纳入到自己的认知结构中，进而自己建构相较以往更加完善的数学认知体系。数学认知结构源于数学知识结构，又高于数学知识结构。数学认知结构具有主观能动性、开放性、主体多层次性，是一种网状知识结构，它既包含底层知识，如概念、定理等，又包含中层知识，如解题方法，还包括高层次知识，如数学方法论、数学观等[8]。个体的数学知识结构转变为良好的认知结构，必须要经过学生主动地对知识信息加工整理、分类概括。具体到课堂教学，教师要以学生为中心，可以采用“问题解决”的教学模式，具体程序为：首先，提出问题。引导学生自己去发现问题，进而提出有障碍性和探索性的问题。其次，分析问题。采用小组合作学习的方式，引导学生讨论交流，开展自主性探究活动。再次，解决问题。教师引导学生实地解决问题。最后，认知升华阶段。教师引导学生对问题解决的全过程进行总结分析提炼，形成新的认知结构。

5 结语

“会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学模型表达现实世界。”[1,p2]这是数学教育的终极目标，而数学抽象就是观察世界的眼睛，思考世界的大脑，表达世界的语言。教师应经由多种路径，采取多种形式，提升高中生的数学抽象素养。