多波长消色差全介质超透镜设计

王文涛，罗春华，罗宇，赵达

（1.长春理工大学 光电工程学院，长春 130022；2.深圳大学 ATR国防科技重点实验室，深圳 518060）

光的色散在设计光学元件及成像系统［1］中有着非常大的影响。在诸如玻璃这样的介质材料中，色散会随折射率的增加而减小，而在透镜系统中，这会产生更加明显的焦点分离，严重影响光学系统的性能及成像质量。传统的透镜通过增加一定数量的光学元件或者使用不同材料的元件来平衡各种像差，但这势必会让光学系统整体结构变得复杂，同时也会提高成本，这些缺陷极大地限制了它们的使用。

近年来，随着微纳加工技术的迅速发展，出现了一种新型波前调控元件—光学超表面。与传统透镜不同，超表面［2-3］是一种由一系列亚波长的人工结构组成的二维阵列平面，具有制作简单、损耗较低、小体积和超薄厚度的特点。它可以对电磁波的振幅、相位、偏振态进行调控，从而灵活地塑造电磁场［4］。超透镜作为超表面的多种应用之一，凭借其在两种材料界面处的相位突变特性使得其在构建平面光学元件方面具有独特的优势。其紧凑的结构相比于传统元件在集成方面也更加突出，比如Cappsso团队将超透镜与内窥镜集成，实现了相比传统元件更好的成像效果和分辨率。但随之带来的一个非常明显的问题就是，由于超薄的平面结构，会产生严重的色散。不过相比于衍射透镜与传统透镜［5］，超透镜的平面结构设计会引入更大的设计自由度，使其在解决光的色散问题上更有优势。利用Pancharatanm-Berry（PB）相位的波长无关性，可以在一定的带宽范围内控制相位，但这种相位调制的方法也会产生色差。虽然近年来一些团队利用矩形耦合结构单元来进行相位补偿，实现了可见光及近红外波段的消色差［6］。但这种方法对结构优化的工作量相当大，且只能应用一维非周期结构。

本文将耦合复用的思想延申至空间复用，通过三个精心设计的硅纳米结构来分别响应三个波长（473 nm，532 nm，632.8 nm），从而实现消除色差。文中会利用PB相位的调控方式，使相位在0～2π变化，并展示通过这种方法制作的器件的消色差聚焦性能。

1 单元结构的原理与设计

1.1 结构的组成与原理

如图1（a）所示，组成文章中超透镜的基本单元由两部分组成，高折射率的硅［7］材料（630 nm处n近似3.65）形成的纳米柱以及二氧化硅基底（n=1.456）。高折射率的硅柱能够将光能量束缚在设计的结构内，避免相邻单元之间的耦合。为了提供足够的相位差满足半波片条件，文中选用了420 nm高度的硅柱来增加相位的调控能力和透射效率，需要注意的是，在加工条件允许的情况下，随着高度的增高会增加调控能力，但高度增加，刻蚀难度会非常大，且刻蚀形貌及垂直度都不好。同时二氧化硅的基底周期P取200 nm，如果P取太大的话，会产生多级衍射。纳米硅柱在基底上旋转，如图1（b），从而产生相位，旋转角度为θ。

图1 超透镜的基本单元结构

图2 扫描长短轴（lx,ly）尺寸对应的衍射效率（DE），转换效率（CE）以及相位（φ）

因为纳米柱可认为是一个截断波导，作为一个法布里-珀罗谐振器［8］，纳米柱各项异性的结构会沿着它的长短轴产生相位差，通过纳米柱长短参数，进一步对纳米柱的转换效率（CE）衍射效率（DE）以及共振相位进行筛选。需要注意的是，共振相位实质上是光经过纳米结构自身产生的相位，就好比传统透镜，光在透镜中会产生光程，引起相位累积，虽然超透镜是亚波长结构，但同样会因为结构问题，产生相位，只与自身结构有关。为了尽可能地提高效率，在选择尺寸前，以扫描的方式计算了纳米柱的转换效率，衍射效率［9］以及相位值，从而方便直接地挑选，如图2所示。通过计算发现，从DE与CE角度看，纳米柱的大小对波长的响应很明显：对于短波长而言，纳米柱的高效率响应尺寸也会相对较小，而对于较大波长尺寸会相对较大（暂以单个结构为例，不考虑空间复用与级联）。因此，当多波长时可选择多个结构，此时它们各自响应波长不同，当一个结构工作时，其他波长的结构几乎不工作。图3为文中选择的三种对应不同波长的结构随波长的衍射效率曲线。如图4所示，将4个473 nm对应结构放在了四个角落，632.8 nm波长对应结构放正中位置，其他位置对应532 nm响应结构。需要注意的是，虽然相邻纳米结构之间的效率不会产生干扰，但对于相位的计算，因尺寸的不同每个结构的共振相位是不同的，这与PB相位不同，这种共振相位是纳米结构自身的属性。

表1 三种结构尺寸表

图3 不同结构衍射效率随波长扫描图

图4 波长选择器件电场响应图

1.2 相位的计算与排布

超透镜功能的实现是依靠相位来实现的，每个位置所需的相位有严格的要求，文章通过利用光程差公式来合理的分配每个位置的相位，如下：

其中，φ(t)为总相位，第一部分是共振相位，共振相位的产生与纳米柱的材料和几何参数有关，第二部分是PB相位，这个相位和纳米柱的面内旋转有关，且仅仅和旋转角度有关系。当一个纳米柱旋转θ角时，纳米柱会获得两倍于旋转角度的相位，因此，PB相位［12］与波长无关，从而为宽谱设计创造了条件。

利用共振相位与PB相位的结合，合理的排列纳米柱，可实现多结构独立设计相位。文中将三种纳米柱阵列分成三层，可实现多波长的单点聚焦，避免传统的透镜由色散产生的焦点偏移。如图6所示，分别为设计排列的超透镜以及普通超透镜与消色差超透镜的区别。

图5 超透镜排布图

图6 普通超透镜与消色差超透镜色散原理图

2 仿真分析

利用MATLAB对相位及坐标进行计算，然后将数据导入FDTD进行超透镜的排版，根据超透镜设计原理。FDTD的器件仿真X Y Z方向采用PML边界条件，网格精度设置为0.25 nm，仿真区域为X（-6.8～6.8 μm），Y（-6.8～6.8μm），Z（0～13μm），第一个监视器的位置放在Z=10 μm处，观察焦平面的强度。第二个监视器设置在Z方向的0～13 μm范围，从而观察Z方向的聚焦位置。当右旋圆偏振光（RCP）入射时，需要测量三个波长的焦距，以及X-Y平面焦点强度图，同时测量FWHM（半高宽）。需要说明的是，当RCP或LCP入射时，偏振转换效率会很高，但当线偏振光入射时，它会分解为左右旋两个方向的叠加，明显降低效率，从而大大降低超透镜的性能。

图7 不同波长聚焦图

图8 焦点强度图

同时将测得的实际FWHM与理论FWHM进行对比，如图7所示，是分别为将473 nm，532 nm，632.8 nm的光照射超透镜的焦点图。明显可以发现，虽然波长不同，但它们几乎交于同一个焦点，焦距分别为10.323 5 μm，10.125 4 μm，10.276 7 μm（分别对应473 nm，532 nm，632.8 nm波长），焦点在设计目标10 μm附近，焦点偏移很小，通过人为地控制相位，间接地控制了焦距，从而实现了对色散的消除。而图8也可以发现，焦点能量很集中，这也使得半高宽更加小，更加接近衍射极限，分辨率更高。

对于超透镜的分辨能力用FWHM会有很好的诠释。根据文中透镜的设计及仿真，计算出了三张设计的强度图，如图9所示。从而计算出实际的FWHM值，分别为464.2 nm，485.2 nm，583.1 nm（对应473 nm，532 nm，632.8 nm），可以发现它们与理论FWHM值431.3 nm，485.1 nm，577.1 nm几乎近似。

图9 归一化焦点强度图

3 结论

超透镜通过结构对不同波长的响应打破了传统透镜色散的问题。对常用的三个可见波长红（632.8 nm）、绿（532 nm）以及蓝（473 nm）进行精密的相位控制设计，实现了共焦点。利用波长无关的PB相位，分别实现了对多波长的调控。这种消色差超透镜可对单波及多波长工作，其精确的设计、平面的结构、简单的制作、良好的效果对很多微纳光学系统有着广泛的应用。更为不断发展的平面光学提供了一种色散消除的概念与方法。