梯度下降法在水库调度函数优化中的应用

王 炜，胡一鸣，石 强

(三峡大学 梯级水电站运行与控制湖北省重点实验室，湖北 宜昌 443002)

水库优化调度研究对于水库的运行有着重大意义，合理的优化调度方式能够给水库的实际运行提供参考。迄今为止，学者们在优化调度模型上取得了丰硕的理论成果[1-4]。然而，在径流已知前提下建立的确定性优化调度模型无法指导实际的水库运行调度。因此，从水库优化调度过程中提取水库运行规则，对水库的实际运行具有重大的现实意义。

水库系统本质上是一个含随机性的系统[5]，随机优化模型更具适应性。然而采用随机优化模型得到的最优运行策略一般以概率的形式表达，实际应用效果较差。确定性模型结构简单，且求解方便。随着水库研究的深入进行和技术的快速发展，确定性优化调度结果的优良性得到极大提高。在此基础上，从确定性模型的水库优化结果中提取调度函数的研究技术更加成熟，例如李承军等[6]同时选用时段末水位和时段出力作为决策变量，采用双线性调度函数提取调度规则，取得一定非线性效果；刘志刚等[7]通过数据挖掘算法得到水库调度模式，并建立云模型规则发生器拟合得到调度函数，以江垭电站为例证明了算法和模型的有效性；孙秋戎等[8]采用改进的遗传算法对原有调度函数系数进行优化，优化后的发电保证率更高；郭玉雪等[9]结合灰色关联度和贝叶斯模型平均法提取水库分期发电调度规则，提供精度较高的均值模拟，同时保持了确定性优化调度的发电效益。

传统提取调度函数的方法是从优化结果得到调度函数，并没有考虑各调度时段的不同特性，因此得到的调度函数拟合效果差。本研究中，基于梯度下降法[10-11]对某水库线性调度函数进行优化，在难以提取调度规则的时段采用流量分级策略，得到优化后的调度函数，并将相关性系数，年均发电量等指标与原调度函数进行对比分析。

1 水库优化调度模型

在一个调度周期内，以水库发电量最大[12-13]为目标函数，建立优化调度数学模型。目标函数为

(1)

式中，T为调度周期总时段数；k为出力系数；Qt为t时段的发电流量，单位为m3·s-1；Ht为平均发电水头；Δt为计算时段t的小时数；E为调度期总发电量。

约束条件如下：

(1)水库水量平衡约束

Vt+1=Vt+(Qin,t-Qout,t)Δt

(2)

式中，Vt+1、Vt分别为计算时段末库容和计算时段初库容；Qin,t、Qout,t分别为计算时段水库入库流量和出库流量。

(2)水库水位约束

Zt,min≤Zt≤Zt,max

(3)

式中，Zt,min、Zt,max分别为计算时段水位下限和水位上限。

(3)水库库容约束

Vt,min≤Vt≤Vt,max

(4)

式中，Vt,min、Vt,max分别为计算时段库容下限和库容上限。

(4)发电流量约束

Qt,min≤Qt≤Qt,max

(5)

式中，Qt,min、Qt,max分别为计算时段发电流量下限和发电流量上限。

(5)水库出力约束

Pt,min≤Pt≤Pt,max

(6)

式中，Pt,min、Pt,max分别为计算时段水库出力下限和水库出力上限。

2 调度函数的提取

2.1 模型求解

采用粒子群算法[14]对模型进行求解，粒子群算法(PSO)是动态规划最优性原理的一个推论。通过将多阶段决策问题分解为若干两阶段子问题，依次逐步寻优，直到收敛或达到最大循环次数。

制定调度函数[15]是最常用的调度规则提取方法。决策变量一般选择计算时段末库容(或水位)Vt+1，计算时段出力Pt，主要影响因素为计算时段初库容(或水位)Vt和入库流量Qin,t。由于一元线性函数相较于多元函数数值稳定性更好，所以取t时段的可用水量作为影响因子。

可用水量为

Xt=Vt+Qin,t

(7)

调度函数表达式为

Yt=at×Xt+bt

(8)

式中，at、bt为计算时段的回归系数，每个月的回归系数相互独立，在计算可用水量时，注意对影响因子的数据进行归一化处理。

调度函数对优化调度结果拟合情况的优劣用相关性系数R2来评价，一般来说，相关性系数越接近于1，拟合效果越好。

相关性系数R2

(9)

式中，Ps,t为t时刻的模拟出力值；P0为平均实际出力值；Po,t为t时刻实际出力值；T为计算时段。

2.2 梯度下降法

梯度下降法是求解无约束优化问题的方法之一，计算过程简单，收敛较快。本文采用批梯度下降法，对线性回归参数进行优化。

设某计算时段调度函数为

Yθ(X)=θ0X0+θ1X1+…+θnXn

(10)

需要确定参数 使调度函数拟合度最好，引入损失函数

(11)

式中，N表示样本数量；Xi为样本特征；yi为样本目标值。通过训练样本数据集，使得J(θ)收敛至最小，即可得到最优参数向量θ

通过梯度下降法求解，需要对J(θ)求偏导数

(12)

θ的更新函数为

(13)

式中，α为学习率。学习率太小，所需迭代次数就太多；学习率太大，可能会错过局部最小值，导致无法收敛，通常在0.001～10之间取值。

2.3 流量分级策略

现行的调度函数多为“可用水量-出力”形式，枯水期内各月份对应时段决策与本月月初可用水量关联紧密，汛期内各月份时段来水对决策影响较大。位于汛期与枯水期间的衔接期调度规律紊乱，会出现多种出力方案。针对衔接期“可用水量-出力”关系点离散的现象，梁志明等[16]提出了流量分级策略来提取衔接期调度规则。

流量分级策略具体步骤如下：

(1)调度线拟合。绘制“可用水量-末库容”关系图，根据分布特性进行分类，得到上下调度线及对应线性函数表达式；

(2)年份归类。对于衔接期内各个时段，将构成上调度线的点标记为“上”，下调度线的点标记为“下”。根据“上”“下”标签将相应点对应的年份归类；

(3)分级流量确定。对于衔接期第i个时段，统计各年份里该时段对应分级时段内的平均流量，按流量大小进行排序，找出“上”、“下”标签对应年份聚合的流量范围，得出临界流量值；

(4)规则整理。将计算得到的分级流量进行整理，上下调度线方案与对应流量区间一一对应，即可得到基于流量分级策略的衔接期调度规则。

3 实例计算与分析

某水库水电站A总装机容量为815 MW。水库正常蓄水位为205 m，对应库容为13.9×108。死水位为170 m，对应库容为3.3×108 m3。现有该水库1951～2005年共55年的逐月入库径流资料，采用粒子群算法，按确定性优化调度计算，将优化调度结果作为制定调度函数的依据。利用调度结果，编制各月份“可用水量-出力”调度函数，调度函数系数如表1所示。

表1 各月调度函数系数

由表1可以看出，月可用水量与出力呈正相关关系，整体上回归系数偏低，尤其是12月～2月这一时段，回归系数均低于0.1。这是由于衔接期出力值比较平均，“可用水量-出力”的调度函数形式难以反映出衔接期的调度规则。实例证明，通过线性回归提取出的调度函数回归系数偏低，拟合效果差。

采用流量分级策略，绘制衔接期各时段“可用水量-末库容”关系图，将图内各点用上下两条调度线拟合，并得到对应线性函数表达式。衔接期各时段调度函数如表2所示。

表2 衔接期各月调度函数

由表2可以看出，衔接期可用水量与末库容呈正相关。与表1相比，衔接期各月调度函数的回归系数得到提高。实例证明，采用流量分级策略提取衔接期各月水库调度函数，能够有效提高拟合精度。

下面采用梯度下降法对各时段调度函数进行优化，以线性回归求出的调度函数系数作为初始值，利用55年径流资料进行模拟计算，学习率取0.001。梯度下降法损失下降曲线如图1所示，优化后的调度函数如表3所示，优化后的衔接期调度函数系数如表4所示。

表3 优化后稳定期各月调度函数系数

表4 优化后衔接期各月调度系数

由图1可以看出，梯度下降法迭代速度快，效率高，能有效降低损失函数。由表3和表4可以看出，通过梯度下降法优化后的目标函数保留了可用水量与出力、末库容的正相关性，优化后的回归系数均在0.5以上。下面给出各调度函数得到年均发电量，与原粒子群算法得出的年均发电量进行对比，结果如图2所示。

由图2可以看出，粒子群算法得出的年平均发电量为28.67亿kW·h；原调度函数得出的年平均发电量为28.68亿kW·h；通过流量分级策略得到的年平均发电量为29.76亿kW·h；相较于常规调度函数增加了1.08亿kW·h，通过梯度下降法改进后得到的年平均发电量为29.87亿kW·h，相较于常规调度函数对应的年平均发电量，增幅不大。

通过上述比较，针对衔接期调度规则难以提取的时段，采用流量分级策略，并结合梯度下降法获得了拟合精度更高的水库调度函数。

4 结束语

本文综合考虑线性回归模型在提取调度规则时拟合效果不佳的问题，在衔接期采用流量分级策略，并通过梯度下降法对原调度函数进行改进。实际算例表明，改进后的调度函数具有更高的拟合精度，而年平均发电量偏差不大。所提梯度下降法在提取水库调度规则上能够给今后水库调度函数的研究提供参考。

本文的不足之处在于所做研究以线性回归分析为基础，在仿真过程中对数据的采集和分析不够完善。后续研究中，将针对提取水库调度函数，采用强化学习方法并结合数据挖掘技术进行进一步探讨。