基于ARMA模型的居民消费水平分析与预测——以湖南省为例

■ 黄炳 李维（湖南人文科技学院数学与金融学院）

一、导论

国家经济已经进入“十三五”规划的中后期发展时期，合理统筹城乡经济发展的二元性问题，缩小城乡居民消费水平差距对湖南省“三农”问题和经济社会发展有着重要影响。湖南省位于中国内陆东南腹地的长江经济带国家发展战略地带中，同时对我国的“一带一路”建设也发挥一定的作用，因而发展湖南省经济显得尤为重要。黎东升等根据湖北省的农村居民消费支出数据，建立了GM(1,1)灰色动态模型，利用精度检验对拟合模型修正，最终实现对数据的推算预测[2]。李群霞研究消费支出及其影响因素之间的关系，建立长期均衡计量经济模型，通过影响因素之间的动态关系，对数据平稳性预处理从而达到协整检验分析非平稳经济变量的数量关系，研究了非平稳经济变量的数量关系[3]。本文将从湖南省居民消费水平相对差距入手，以湖南省居民消费水平的历史数据建立平稳的时间序列，构建ARMA模型，为“十三五”目标提供理论和实证依据。

图1 湖南省1978—2017城乡居民相对收入差距变化趋势

图2 差分处理序列后的趋势

图3 差分序列I3的自相关图和偏自相关图

图4 差分序列I3的模型

二、湖南省居民消费水平预测实证分析

（一）ARMA模型的建立

1.时间序列判断

本文数据主要来源于2018年湖南统计年鉴、2018年中国统计年鉴和湖南省人民政府网。将湖南省城镇居民消费水平减去湖南省农民居民消费水平，再除以湖南省城镇居民消费水平得到相对居民消费水平差距，记为Xt（1978≤t≤2017）。图1为湖南省城乡居民相对居民消费水平差距趋势图。

由图1观察可知，时间序列Xt含有趋势性，是不平稳的。同时通过 ADF 根检验进行单位根检验判断平稳性，存在单位根，原始序列Xt不平稳。

2.数据平稳化处理

对原始数据Xt进行差分处理，图2为序列的变化趋势。

从图2可以清晰的看到，经过差分处理后的序列是平稳的。差分后的t统计量值为-6582427，而显著性水平为1%、5%和10%的临界值分别为-2.639210、-1.951687、-1.610579，t统计量明显小于显著性水平为1%的临界值，故而拒绝系数为零的原假设，即不存在单位根，序列已平稳。

3.自相关图与偏自相关图识别

根据图3自相关图和偏自相关图，对ACF和PACF进行观察，发现该时间序列I3的自相关和偏自相关都具有拖尾的特征，因此可建立ARMA模型。参数估计结果观察对比可知ARMA（2,1）和ARMA(5,1)数值相近且较小，而ARMA（5,1）模型的可决系数(Adjusted R2)最大，所以ARMA（5,1）模型在这几个模型中是比较合适的。

4.建立拟合模型

通过之前对模型的识别和选择，拟合ARMA（5,1）模型：

根据表1可知，拟合的ARMA(5,1)模型是。

图5 拟合模型残差序列自相关图与偏自相关图

表1 ARMA(5,1)模型的估计及检验结果

表2 模型预测表

表3 模型差分预测值

（二）ARMA模型的检验与预测

1.拟合模型残差检验

对拟合模型做出残差序列得到图4。

通过判断残差是否存在白噪声检验拟合模型的信息提取是否完全。对图4的拟合模型残差序列进行Q检验，根据Q统计量对应的伴随概率P值的概率大小判断是否为白噪声。由图可知，拟合模型的P值要显著大于5%，模型不拒绝残差是白噪声的零假设，从而说明误差项不存在自相关，该模型不需要修改。

2.拟合模型预测

本文通过拟合的有效模型ARMA(5,1)进行预测，首先我们需要对模型的拟合值和实际值进行误差分析，见表1。

从图5的绝对值和均方误差充分表明模型的误差区间保持在较小的范围内，ARMA(5,1)拟合的实际值与拟合值的绝对值均在0.05之中，均方误差几乎都低于或相近于5%的误差度。对拟合模型2011年至2017年进行静态预测，得到图6，曲线均在有效区间内。对比2011年至2017年静态预测值和差分序列得到图7，模型预测值基本和差分序列图拟合。对2018年、2019年和2020年进行模型预测得到表3和图3.9：根据ARMA(5,1)模型预测2018—2020年三年的居民消费水平差距预测值为0.000410、0.006399和-0.006342。

图6 拟合模型样本内预测图

图7 拟合模型样本内预测效果图

三、结论

从1978—2017年的城乡居民消费水平相对差距上看，湖南省居民消费水平呈现一定的波动性，但是总体层面上依然处于差距扩大的局面。随着居民消费水平的继续增长，城乡的居民消费水平差距继续拉大，经济的持续增长将会加大两极分化的速度。通过模型ARMA(5,1)的预测图可知，在2018年、2019年和2020年三年内，湖南省居民消费水平差距仍呈扩大趋势，没有根本上缩小。