种群细胞增生中具L-R模型的迁移方程研究进展

2019-12-27 09:12
上饶师范学院学报 2019年6期
关键词:方程解边界条件算子

(上饶师范学院 数学与计算机科学学院,江西 上饶 334001)

1 研究背景

上世纪70年代,Lebowitz和Rubinow提出了以种群细胞的年龄和遗传周长为特征的一类迁移方程[1]:

(1)

方程(1)简称为L-R模型。其中,变量a表示种群细胞的年龄,a∈(0,l],变量l表示种群细胞从出生到遗传的时间周长,l∈(l1,l2),常数l1表示细胞的最小周长,l2表示细胞的最大周长;ψ(a,l,t)表示细胞年龄a和细胞周长l在时间t的密度函数,函数μ(·,·)表示细胞的死亡率,K表示边界算子。在生物学上,算子K满足如下边界条件:

(2)

其中积分核k(l,l′)表示子细胞周长l与母细胞周长l′之间的相互关系,并且满足如下标准化条件:

(3)

其中0

2 研究进展

Webb在连续函数空间中对这类种群细胞增生中的L-R模型进行了探讨[2-3],就一些简单具体的边界条件,当种群细胞的分裂周长0

(4)

当0≤l1

(5)

当0≤l1

1)当μ=0,证明了相应算子的生成强连续半群(UK(t))t≥0,并得到:

||(UK(t))t≥0||p||ψ||p.

(6)

2)当μ≠0,证明了相应的Streaming算子的生成C0半群(VK(t))t≥0,并得到:

||(VK(t))t≥0ψ||ω,p≤et(ω0-μ)||ψ||ω,p,t≥0.

(7)

3)当μ≠0,证明了C0半群(VK(t))t≥0正性,不可约性和占优性等结果。

4)当边界条件K为紧时,证明了相应的Streaming算子谱由至多可数个具有限代数重数的离散本征值组成,证明了相应迁移方程的解是渐近稳定的等结果。Boulanouar 在L1空间中,研究了以种群细胞的遗传周长和年龄为特征的L-R模型[11],其中(a,l)∈{(a,l);0

(8)

在0

关于种群细胞增生中具非线性的L-R模型解的结构性问题也有一些研究成果[17-22],非线性边界值问题的L-R模型如下:

(9)

其中χΔ表示定义在Δ={(a,l);0

最近,Boulanouar在L1空间中,研究了具扰动项的以种群细胞遗传周长和年龄为特征的L-R模型[23-24]:

(10)

其中(a,l)∈{(a,l);0

(11)

该方程所具有的边界条件为方程(5),在0

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