种群细胞增生中具L-R模型的迁移方程研究进展

(上饶师范学院 数学与计算机科学学院，江西 上饶 334001)

1 研究背景

上世纪70年代，Lebowitz和Rubinow提出了以种群细胞的年龄和遗传周长为特征的一类迁移方程[1]：

(1)

方程(1)简称为L-R模型。其中，变量a表示种群细胞的年龄，a∈(0,l]，变量l表示种群细胞从出生到遗传的时间周长，l∈(l1,l2)，常数l1表示细胞的最小周长，l2表示细胞的最大周长；ψ(a,l,t)表示细胞年龄a和细胞周长l在时间t的密度函数，函数μ(·,·)表示细胞的死亡率，K表示边界算子。在生物学上，算子K满足如下边界条件：

(2)

其中积分核k(l,l′)表示子细胞周长l与母细胞周长l′之间的相互关系，并且满足如下标准化条件：

(3)

其中0

2 研究进展

Webb在连续函数空间中对这类种群细胞增生中的L-R模型进行了探讨[2-3]，就一些简单具体的边界条件，当种群细胞的分裂周长0

(4)

当0≤l1

(5)

当0≤l1

1)当μ=0,证明了相应算子的生成强连续半群(UK(t))t≥0，并得到：

||(UK(t))t≥0||p||ψ||p.

(6)

2)当μ≠0,证明了相应的Streaming算子的生成C0半群(VK(t))t≥0，并得到：

||(VK(t))t≥0ψ||ω,p≤et(ω0-μ)||ψ||ω,p,t≥0.

(7)

3)当μ≠0,证明了C0半群(VK(t))t≥0正性，不可约性和占优性等结果。

4)当边界条件K为紧时，证明了相应的Streaming算子谱由至多可数个具有限代数重数的离散本征值组成，证明了相应迁移方程的解是渐近稳定的等结果。Boulanouar 在L1空间中，研究了以种群细胞的遗传周长和年龄为特征的L-R模型[11]，其中(a,l)∈{(a,l);0

(8)

在0

关于种群细胞增生中具非线性的L-R模型解的结构性问题也有一些研究成果[17-22]，非线性边界值问题的L-R模型如下：

(9)

其中χΔ表示定义在Δ={(a,l);0

最近，Boulanouar在L1空间中，研究了具扰动项的以种群细胞遗传周长和年龄为特征的L-R模型[23-24]：

(10)

其中(a,l)∈{(a,l);0

(11)

该方程所具有的边界条件为方程(5)，在0