基于样条拟合的非圆齿轮节曲线误差检测*

刘永平，廖福林

(兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050)

0 引言

非圆齿轮是将圆齿轮异形化、不规则化，齿轮的重要特征节曲线由圆形演化为异形[1]。非圆齿轮节曲线实际上是一对相互啮合的齿轮在其啮合过程中实现无滑动地滚动的共轭曲线，其误差是影响齿轮副传动平稳性和准确性的重要指标之一[2]。

目前，国内外有很多专家学者针对节曲线及其误差进行了深入研究并取得了令人瞩目的成就。曹宁慧提出基于齿顶离散点反求节曲线的数值计算方法，并设计非圆齿轮副[3]。李建刚等在Hermite三次参数曲线的基础上提出一种只需要齿轮节曲线上的离散点，就可以用具有统一表达式的三次样条曲线代替表达式各异的非圆齿轮节曲线[4]。赵加伟等基于双面啮合检测原理，以标准圆柱齿轮为检测齿轮，对非圆齿轮的节曲线径向综合误差进行了定量研究，并开发了双面啮合检测装置与自动检测系统[5]。曹凤琼利用B-spline

曲线重构非圆齿轮节曲线，通过实例验证了利用开放分布均匀B-spline曲线重构节曲线的可行性[6]。为了得到精确的节曲线误差，使得齿轮传动更加平稳、准确、均匀，本文利用分段三次样条拟合函数来拟合节曲线，并计算其误差，为节曲线误差的研究找到了一个新方法。

1 误差模型的建立

图1为根据双面啮合检测原理建立的两齿轮运动关系几何模型[7]。标准圆齿轮的半径为r1，O-xy为中心距变化曲线上的固定坐标系，其原点与非圆齿轮转动中心重合，O1-x1y1为随动坐标系，其原点与标准圆齿轮重合，其y轴方向与中心距曲线的法向量m方向一致，x轴方向与中心距曲线的法向量n方向一致。固定坐标系O2-x2y2的原点与圆柱齿轮运动中心重合，其x，y轴的方向与在初始啮合位置时x，y轴的方向一致。

图1 齿轮运动关系几何模型

(1)

微分可得：

(2)

其中，

(3)

则向量m的模为：

(4)

则与向量m同向的单位向量m0为：

(5)

则单位法向量n0与单位切向量m0关系为：

n0·m0=0

(6)

向量OO1可以表示为：

OO1=r1n0

(7)

OP=OO1+O1P

(8)

联立以上各式可得非圆齿轮节曲线参数方程为：

(9)

假设被测非圆齿轮的理论节曲线方程为：r=r(θ2)，则在转角下极径的理论值为：r理=r(θ2)，则节曲线误差为：

Δr=r实-r理=r2(θ2)-r(θ2)

(10)

2 样条函数与样条拟合

2.1 样条函数

若函数s(x)∈C2[a,b]并且在每个区间[xi,xi+1]上是三次多项式，其中a=x0

s(xi)=yi(i=0,1,…,n)

(11)

成立，则称s(x)三次样条插值函数[8]。

2.2 分段三次样条拟合

设所要求的非圆齿轮节曲线方程为r=r(θ)，它经过n+1个离散坐标点：P0(x0,y0)、P1(x1,y1)、…、Pn(xn,yn)，跟齿轮固联的坐标原点与齿轮回转中心重合。

为了利用极角作为变量，通过反正切函数求极角并将离散点Pi直角坐标转换成对应的极坐标(ri,θi)，为了保证节曲线首尾光滑连接，形成封闭节曲线，在最后一个离散点后添加一个点Pn+1，使其与P0点重合，其极角θn+1=θ0+2π，用P1-Pn为端点处的切向量，因此，在[θi,θi+1]区间上的三次样条节曲线方程为：

r(θ)=Fi0(θ)Pi+Fi1(θ)Pi+Gi0(θ)Ti+Gi1Ti+1

(12)

上式中，θ∈(θi,θi+1)，Pi为Pi处的切向量，Ti(i=1,2,…,n)可通过下式求出：

λiTi-1+2Ti+ξiTi+1=Bi

(13)

指定：T0=Tn+1=P1-Pn

上式中：

Fi0(θ)、Fi1(θ)、Gi0(θ)、Gi1(θ)是调和函数，分别为:

(14)

3 非圆齿轮数据采集与3D数字化检测

3.1 数据采集

数据采集就是获取非圆齿轮的三维点云，获取齿轮三维点云的过程，是对其外形数字化的过程。

目前，获取齿轮三维点云数据主要有两种方法：立体视觉法和激光扫描测量法。本文根据选取的研究对象的几何特性采用非接触式主动激光测距系统获取齿轮的三维点云。选用Creaform Metrascan扫描仪对非圆齿轮进行数字化扫描，其扫描精度为0.064mm。图2为扫描过程，图3为扫描过程的计算机界面。

图2 齿轮扫描过程

图3 扫描过程的计算机界面

3.2 3D数字化检测

3D数字化检测的过程是将扫描得到的点云预处理后导入到逆向工程软件，在软件中将点云和非圆齿轮理论模型对齐并比较分析，然后通过注释命令获取齿廓与节曲线各交点的理论坐标和实际坐标，完成数据采集。为研究从不同截面进行2D比较对误差的影响，选取从不同两个截面注释，获取点坐标。截面A：距起始端面5mm，截面B：距起始端面15mm，记齿轮上端面为注释的起始端面(图4所示端面即为上端面)。图4为与处理后的点云，表1为在截面A注释得到的数据。

图4 预处理后的点云

表1 在截面A注释得到的数据

4 实例计算

(a) 截面A数据拟合而成的节曲线

(b) 截面B数据拟合而成的节曲线 图5 节曲线

图6 节曲线误差

由图5的整体图与局部放大图可知，理论节曲线与实际节曲线紧密贴合，差别小，具有较高的一致性。由图6可知，从两个截面计算出的节曲线误差较小，误差主要分布在0.025mm～0.20mm之间，最大误差不超过0.4mm，误差曲线大致相似。

5 结论

(1)通过本文算法得到的理论节曲线与实际节曲线紧密重合，差别小，具有很高的一致性，说明该算法具有可行性。

(2)从两个不同截面得到的数据计算出的节曲线误差曲线基本一致，说明该算法具有可重复性且节曲线误差与从不同的截面进行比较无关。