基于ZMNL的Pareto杂波模拟改进方法*

傅俊滔，周国安，陈 红

(1 空军工程大学研究生院， 西安 710051；2 空军工程大学防空反导学院， 西安 710051； 3 61769部队， 山西吕梁 033000)

0 引言

杂波制约着对目标的检测性能，在杂波背景下，杂波数据对验证雷达探测性能具有重要意义[1-2],因此，对杂波的模拟和特性的研究变得非常重要。杂波模型由早期的瑞利分布[3]和韦布尔分布[4]发展到现在的复合高斯分布模型，如K分布和Pareto分布[5]等。通过与实测海杂波数据进行对比，研究者发现Pareto分布在拟合海杂波时更具有优势[6]。Pareto分布和K分布具有相同的理论解释，其不同之处在于Pareto分布的结构分量为逆Gamma分布，而K分布的结构分量为Gamma分布[7]。因此，对Pareto分布海杂波仿真的研究可以借鉴K分布海杂波的仿真方法。

传统的K分布海杂波模拟方法可以采用零记忆非线性变换(zero memory nonlinearity，ZMNL)法[8]。文献[9]和文献[10]利用ZMNL方法产生K分布的杂波，原理简单,但是产生Gamma随机变量的形状参数是整数或者半整数，因此该方法不能够仿真形状参数为非整数或非半整数的海杂波，只能进行近似处理。文献[11]利用Gamma函数的相加性，将形状参数拆分为整数部分和小数部分之和的形式，将杂波的形状参数扩展到一般实数。

由于Pareto分布的结构变量可以通过倒数变化得到K分布的结构变量，因此Pareto分布也存在着杂波仿真的形状参数只能为整数或半整数的问题。文中针对ZMNL方法中形状参数取值受限的问题，利用Gamma函数的可加性，提出一种产生Gamma分布随机数的改进方法，不仅将形状参数的取值范围扩展到一般实数，而且在产生过程中不需要将形状参数分解为整数和非整数部分进行处理，可以直接得到形状参数为任意值的Gamma分布随机数，改善了杂波的仿真性能。

1 杂波模型及模拟方法

1.1 Pareto分布杂波模型

海杂波X的概率密度函数(PDF)可看作是结构分量调制散斑分量的结果，其形式如下[12]：

(1)

其中，pY(y)为结构分量的PDF，如式(2)：

(2)

式中：Γ(·)为Gamma函数，a为形状参数，b为尺度参数。

pX|Y(x|y)为散斑分量的PDF，如式(3)：

(3)

1.2 ZMNL方法

传统的ZMNL方法是：首先产生Gamma随机变量z和指数随机变量u，然后将z和u相乘取平方根，得到服从K分布的杂波变量。由于产生Gamma随机变量的形状参数a是整数或者半整数，因此若a为非整数或者非半整数，则需对a向上下取近似值，满足a′为整数或半整数。此时，近似得到的杂波K(l;a′,v)与实际要求的杂波K(l;a,v)存在着偏差。此外，文献[11]利用Gamma函数的相加性，将形状参数拆分为整数部分和小数部分之和的形式，解决了形状参数a要近似处理的问题，但拆分使得模拟表达式更加复杂，产生Pareto分布杂波也存在类似的问题。

2 改进的Pareto杂波模拟方法

文献[11]和文献[13]中利用的方法均是通过a为整数的Gamma分布随机数与Beta分布随机数的乘积来解决Gamma分布随机数的a不能为非整数或半整数的问题。因此，对已有方法进行改进，得到新的产生a为任意值的Gamma分布随机数的方法。

设β～B(β;c,d)，其中0<β<1，则Beta的PDF[14]为：

(5)

设τ=1/β，其中τ∈(1,+)，则τ的概率密度函数fτ为

(6)

将式(6)记作τ～B逆(τ;c,d)。与K分布模型不同，Pareto分布模型的结构分量服从逆Gamma分布，记作z～IG(z;a,b)，其中：

(7)

假设两个独立随机变量z～IG(z;p+q,1)，τ～B逆(τ;p-r,q+r)。其中，p为p>r的整数，q为非负整数，0

(8)

(9)

由定理可得：

(10)

(11)

(12)

(13)

将式(13)代入式(12)可得：

(14)

因此可得，假设两个独立随机变量z～IG(z;p+q,1)，τ～B逆(τ;p-r,q+r)，那么随机变量γ=zτ～IG(γ;p-r,1)。由定义可知，p+q为整数，p-r为非整数，也就是说该方法可以利用形状参数为整数或半整数的逆Gamma分布随机数与逆Beta分布随机数的乘积，来得到形状参数为任意值的逆Gamma分布随机数。与文献[9]和文献[10]对比，该方法在生成逆Gamma随机数时不需要将形状参数进行近似处理，可以得到任意形状参数的逆Gamma分布随机数，模拟性能更好。与文献[11]对比，该方法不需要将形状参数拆分为整数和小数两部分，利用Gamma函数的相加性，再合成出任意形状参数的Gamma分布随机数，而是可以直接生成任意形状参数值的逆Gamma分布随机数，在保证仿真性能的同时，简化了产生逆Gamma分布随机数的过程。

3 仿真性能分析

文中主要是解决形状参数不能为非整数或非半整数的问题，因此，实验时形状参数a取值为2.75，实验结果为100次实验的均值。这样传统的ZMNL方法在模拟逆Gamma分布随机数时就只能取就近的整数值3和半整数值2.5。

图1为逆Gamma分布PDF的理论曲线和仿真数据的对比图，为了便于比较，图2为图1的局部放大图。从图2可以看出，和传统的形状参数取近似值的方法相比，改进后的方法，即a=2.75时的PDF曲线与理论上的PDF曲线之间的拟合明显优于a=2.5和a=3时的情况，a=2.5和a=3时的PDF曲线明显偏离理论上的PDF曲线。与文献[11]的方法相比，仿真的PDF曲线与理论曲线的拟合程度差不多，仿真性能接近，但是由于改进的方法不需要将形状参数进行拆分处理，在之后的结构设计和计算上更加简单。

图3为均方误差(mean square difference，MSD)拟合优度对比结果，为了方便观察，对MSD曲线进行平滑滤波处理，如图4。从图4中可以看出，文中改进的方法与文献[11]的方法，即a=2.75时，对应的MSD最小，说明拟合最好，而传统的ZMNL方法对应的MSD更大，说明拟合更差，与图2得出的结论一致。

图1 仿真数据与理论PDF曲线拟合

图2 图1局部放大曲线

图3 MSD检验结果

图4 平滑后的MSD检验结果

4 结束语

文中对ZMNL方法的杂波仿真进行研究。无论是K分布还是Pareto分布的杂波模拟，均存在着不能产生形状参数为非整数或非半整数的Gamma分布或逆Gamma分布随机数的问题。通过对已有方法进行改进，改进的方法可以产生形状参数为任意值的逆Gamma分布随机数，并且不需要对形状参数进行整数和小数部分的拆分处理，简化了仿真和计算。仿真实验表明:改进后得到的PDF仿真曲线与理论的PDF曲线拟合更好，对应的MSD最小，仿真性能得到提高。