“杯中球”的奥秘

卓西咔

周末，阿才和爸爸去了公园。

“那是什么？”阿才突然问道。不远处一个热闹的游戏摊位引起了父子俩的注意。只见这个摊位前面立了一块木板，上面写着三个大字——杯中球。

摊主解释道：“我有三个外观相似且不透明的杯子，将它们倒扣放置，再将一个小球放进其中一只杯子里。然后我会移动杯子十次甚至更多次，若你最后能猜出小球在哪个杯子里，你就能获得奖品。”

“那我要试一试！”阿才饶有兴趣地走上前。然而游戏并不简单。由于摊主移动杯子的速度太快，就算阿才一开始紧盯住有球的杯子，他也会在摊主第八次移动杯子的时候“跟丢目标”。

这可让阿才犯了难：“既然这样，就只能靠猜了。随机选一个杯子，猜中的概率是1

3。有什么方法能提高我猜中的概率呢？”

爸爸笑着将他拉到一旁说：“无论移杯子的人如何遵守设计好的移动规则，他都会受到一点个人习惯的影响。所以里面有球的那只杯子变换的位置，会存在一定的规律。你不妨先好好观察、计算，猜对的概率可能会大大提高。”

我们把阿才面前从左往右的三只杯子所在的位置分别记为1，2，3，用Pab（n） 代表移动n次后，在杯子中的球从位置a移到位置b的概率。例如：P12（1）是球从左边的位置1移到中间的位置2的概率;P22（1）是指移动一次杯子后，球仍在中间位置没有动的概率; P13（2）是指移动两次杯子后，球从左边位置1移到右边位置3的概率。

Pab（1）无法直接得到，我们可以用“频率=频数

总次数”来进行计算。比如，假设最开始球在左边的杯子里，在100次的移动杯子中，“球没有移动”发生了10次，“球从位置1移到了位置2”发生了60次，“球从位置1移到了位置3”发生了30次，那么有：P11（1）≈10

100， P12（1）≈60

100，P13（1）≈30

100 。

阿才经过观察，将总结的规律按顺序写成如下形式：

假设球在第n次移动中的位置只与第（n-1）次移动中的位置有关，而与第1，2…n-2次转动中的位置无关，根据矩阵A以及递推公式Pij（n）=Pi1（n-1）×

P1j（1）+Pi2（n-1）×P2j（1）+Pi3（n-1）×P3j（1）（n=2;i，j=1，2，3），我们可以得到A2 ：

从矩阵A2我们可以很直观地看出：

（1）若球原本在左邊的杯子里，移动2次后有66%的概率位置不变。

（2）若球原本在中间的杯子里，移动2次后有50%的概率位置不变。

（3）若球原本在右边的杯子里，移动2次后有82%的概率位置不变。

如果我们随机猜测球的位置，有1

3≈33.3%的概率能猜对。若用总结的规律来猜测，能将猜对的概率提高16.7%到48.7%。

阿才一脸窃喜地去重新挑战，他发现猜对的概率果然大大增加了。摊主也觉察到了，于是他开始增加游戏难度：将杯子数目增加至4只，每局游戏杯子移动的次数增加至11次。阿才站在一旁观察了很久，他又得出了以下规律：

根据矩阵A以及递推公式：

Pij（n）=Pi1（n-1）×P1j（1）+Pi2（n-1）×P2j（1）+Pi3（n-1）×P3j（1）+Pi4（n-1）×P4j（1）（n=2，3;i，j=1，2，3，4）

可以依次得到矩阵A2和 A3：

根据矩阵A3我们可以很直观地看出：

（1）若球原本在左数第一个杯子里，移动3次后有48.4%的概率位置不变。

（2）若球原本在左数第二个杯子里，移动3次后有49%的概率位置不变。

（3）若球原本在左数第三个杯子里，移动3次后有49.7%的概率位置不变。

（4）若球原本在右数第一个杯子里，移动3次后有43.3%的概率位置不变。

如果我们随机猜测球的位置，有1

4=25%的概率能猜对。若用总结的规律来猜测，能将猜对的概率提高18.3%到24.7%。

从“杯中球”这个游戏里，阿才领悟到：生活中存在着许多充满变数的“谜题”，我们要多去发现“谜题”中的知识和规律，才能收获更多乐趣哟！