基于“示以思维”的数学实验常态教学策略

【摘 要】在数学实验形态学范畴内“示以思维”包括信息关联型、系统补偿型和迁移可逆型，涉及数学思考、数学判断和实现问题解决等核心素养的形态思维。通过对数学实验“示以思维”的研究，让常态数学实验从“教理解”转向“教智慧”，从“学以致用”转向“用以致学”，进而发展学生的“关键能力”。

【关键词】“示以思维”;数学实验;数学思考策略;常态教学研究

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2019）83-0014-03

【作者简介】朱桂凤，江苏省连云港市凤凰学校（江苏连云港，222000）教师，高级教师，江苏省特级教师。

对数学实验教学法而言，“示以思维”就是在研究数学问题时，将逻辑思考的过程建立体系，并将此思维过程可视化。“示以思维”能帮助学生构建某一类的知识体系，这就要求教师在实验教学时要“示以思维”地教，为学生铺垫思维。这样的常态化实施数学实验，有助于学生抽象、推理和建模思想的发展。学生的知识技能、思想方法、活动经验、能力素养及其结构体系的构造与建设，需要“示以思维”“授以思考”，方能让数学实验从“教理解”转向“教智慧”，从“学以致用”转向“用以致学”。

本文主要以《数学实验手册》中的实验项目为思考对象，建构“示以思维”视角下的数学实验常态化实施教学策略。

一、在经历中催生数学思考

这里的“经历”是指在特定的数学活动中，让学生获得一些感性认识。这种“感性认识”是在抽象中获得的、在经历中形成的。数学抽象是数学学习的三大能力（抽象、推理和建模）之一，是初中段学生畏惧数学的一个重要原因，也体现出张奠宙教授说的数学“冰冷与火热”的特征（数学概念、原理、方法本身很冰冷，但背后的数学思考极其火热）。对初中生而言，他们处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，需要一个帮助其思维发展的载体。数学实验是一种数学活动，具有弥补数学抽象思维短板的功能，有助于学生在“经历中”，自觉地生发数学思考。

更具体地来说，数学实验是发展学生抽象能力的间接载体，有助于学生在直观中抽象，在抽象中进行信息关联，形成“知其然和知其所以然”的思维方式。传统的数学课堂立足于“知其然，不知其所以然”的“告诉概念+重复训练”的思维方式，不利于学生将知识上升到能力素养层面，经不起实践的检验。而数学实验课堂关注“是什么、为什么和怎么样”，其优势就在于能将“知识经验”转化为“思想方法”。因此，常态化实施数学实验意义重大。

在南京大学教授吕林海看来，数学抽象从背景上看具有客观性，从产生上看具有能动性，从内容上看具有特殊性，从方法上看具有构造性，从过程上看具有发展性。这就要求我们在实施常态数学实验时，一是关注数学抽象的客观性，创设问题情境，关联思维;二是关注数学抽象的能动性，采用“做数学”的思维方式;三是关注数学抽象的过程性，在经历数学中体验数学的多元思考，进而发展数学“核心素养”。

例如，我们将直角三角形纸片按图1所示的方法折叠成这样的两个矩形称为“组合矩形”。在下定义的基础上，首先让学生剪一个锐角三角形纸片，折成“组合矩形”，说明理由，并由此说明三角形的中位线与第三边之间的数量关系;其次是在方格纸上，让学生画出顶点都在格点上的三角形，使该三角形折成的“组合矩形”为正方形，并通过折叠加以验证;最后是让学生基于“特殊—一般”思想，思考非特殊的四边形满足什么条件时能折成“组合矩形”，画出这样的四边形并进行折叠验证。

上述“定义组合矩形→折组合矩形→折组合正方形→探讨折成组合矩形条件”的过程，涵盖了“特殊→一般→特殊”、“折→剪→画→判断”以及“直角三角形→锐角三角形→非特殊四边形”的过程，这样的实验经历，能让学生既获得知识又获得方法。

二、在体验中形成数学判断

在数学实验常态化实施中，“实验体验”是参与特定的数学活动，主动认识或验证对象，获得真实经验的过程。在这一过程中，一方面数学实验作为“领悟课程”，需要通过“动手做”还原推理的思维本真，落实“怎样到达那里”;另一方面数学实验作为“运作课程”，需要“活动数学”，将静态的概念转化为动态的数学思考，建立系统概念。正如《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）强调的那样，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。

基于这一认识，需要做好三个层面的系统补偿工作，让学生在信息体验中提升数学判断能力。一是运用信息技术操作画图，体验数学目标;二是说数学，展示自己的数学思维过程;三是概括推理，发展数学判断力。

2011年版课标指出，教师应当努力开发制作简单实用的学具和教具，有条件的学校可以建立“数学实验室”供学生使用，培养他们的实践能力和创新精神。比如，在研究“中点四边形”这一实验时，可以让学生在“希沃环境”（一种教学软件平台）下画图，获得对中点四边形的认识与理解，建构系统关联的学具思维。具体操作顺序如下。

首先是让学生在“希沃环境”下，画出一个四边形的“中点四边形”，然后下定义。其次是让学生画出特殊四邊形的“中点四边形”，猜想平行四边形、矩形、菱形、正方形的“中点四边形”形状，说理并折纸验证。最后是让学生任意画一个四边形的“中点四边形”，探寻该四边形的对角线满足什么条件时，其中点四边形是矩形、菱形和正方形，并验证。

如果说“软件画图→形象定义”是由体验到形成判断，那么“画出→猜想→验证→说理”是由做数学到说数学，而“画图→判断→推理→概括”则体现了学习的系统性。这样的实验形态，一方面有助于学生形成概念体验，另一方面能让学生在体验中获得“示以思维”，并将“结构知识”转化为“认知结构”，这就是数学实验常态化实施的工具思维。

三、在探索中实现问题解决

数学实验必须坚持“在实践中”和“向实践学习”的立场。数学实验作为“经验课程”，一方面需要实践，落实行为探索目标;另一方面需要向实践学习，让学生在问题解决中获得解决问题的能力。例如，在研究“特殊四边形”概念时，让学生任意画一般三角形、等腰三角形、等边三角形和等腰直角三角形，并分别画出其绕顶点或直角顶点旋转180°后的图形，猜想并验证四边形的形状。这种实践的立场，有助于学生产生“问题意识”，形成问题能力，这就是向实践学习的表现形式。

在南京大学郑毓信教授看来，“问题”可以理解成“找出适当的行动以达到一个可见而不能立即可及的目标”。在数学实验活动范畴，提出问题是人们创造性能力的一个重要内涵。因为解决问题也许是一个数学上或实验上的一个技能，而提出新的问题、新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力。

2011年版课标指出，要重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。这里的“情境→抽象→建模→解决问题”是数学实验常态化实施的基本形态，是知识、发展逆向思考的一种“示以思维”和实践举措。这就要求教师设置的“问题解决”教学具有探索性、可逆性以及潜在的迁移性和创新性。让学生在探索中获得举一反三和触类旁通的能力，这就是数学实验常态化实施的不可替代性。

在数学实验常态发展的过程中，探索性是發现和提出问题的创新基础;可逆性就是让学生在“做”和“思考”的过程中，形成独立思考、逆向思考和学会思考的能力，进而实现问题的双向回流，这是数学创新的核心;迁移性就是让学生通过归纳概括得到猜想和规律，并加以证明，这是创新方法。可以说任何一个实验都是以“问题→建模→解模和使用模型”的思维程序呈现的，一方面能让学生获得创新能力，另一方面能让学生形成可逆迁移，落实经验课程发展学生数学素养的功能。■

【参考文献】

[1]吕立杰，李刚.核心素养在学校课程转化的层级分析[J].课程·教材·教法，2016（11）：50-56.

[2]邱冬，王光明.平面几何教学的新视角——“示以思维”——基于章建跃先生对“研究三角形”的过程分析[J].数学通报，2018（8）：27-30.

[3]李昌官.数学抽象及其教学[J].数学教育学报，2017（4）：61-64.

[4]严虹.基于能力要求的初中数学课程国际比较研究[J].教学与管理，2018（30）：80-83.

[5]郑毓信.“问题意识”与数学教师的专业成长[J].数学教育学报，2017（5）：1-5，92.