关于多角形数的余数的研究*

王 明 军

(渭南师范学院数理学院, 陕西 渭南 714000)

1 主要结论

在文[5]中，作者定义了正整数的下部r角形数部分数列和上部r角形数部分数列,得到了两个精确的计算公式.

定理1对于任意实数x>1,a(n)表示正整数n的多角形数的余数，则有渐近公式

定理2对于任意实数x>1,σ(n)表示正整数n的约数之和，则有渐近公式

2 引 理

为了完成定理的证明,需要下面的引理.

引理1[7]对于任意的实数x≥1,有渐近公式

或者

引理3[7]对所有的x≥1,有

3 定理的证明

3.1 定理1的证明

对于任意给定的正数x>1,设M是满足

的正整数，由a(n)的定义及引理1有：

=lnM！+(ln(r-2)+C)M+O(lnM)

=MlnM+(ln(r-2)+C-1)M+O(lnM)

3.2 定理2的证明

对于任意给定的正数x>1,设M是满足

的正整数,由a(n)的定义及引理3有：

…+σ((r-2)t))+(σ(0)+σ(1)+…+

σ(M(r-2)))