挖掘集合单元育人价值 培养数学学科核心素养

上海市静安区教育学院 (邮编：200070)

普通高中数学课程标准(2017年版)指出，数学学科核心素养是数学学科育人价值的集中体现，也是数学课程目标的集中体现. 我们认为，只有当数学学科核心素养目标与数学具体内容的教学结合在一起时，数学学科核心素养目标才能真正落到实处，也只有当数学具体内容的教学体现其独特的育人价值时，数学教学才是有力的. 下面以集合单元为例，谈谈集合单元的育人价值与数学学科核心素养的培养.

1 集合单元的育人价值

集合单元的育人价值可以从其学科价值和教育价值两个方面进行挖掘．集合单元的学科价值反映了其对数学学科发生、发展的重要性，以及在数学学科理论系统中的功能性的认识；集合单元的教育价值则是其对促进学生哪些方面发展的作用的认识，如是否有助于学生积累从具体到抽象的活动经验，是否能帮助学生更好地学会数学式的思维与表达等等．

1.1 集合单元的学科价值

首先，集合论思想是一种全域性数学思想．集合论思想是现代数学重要而基本的思想，它的概念和方法已经渗透到数学的各个分支以及其他一些自然科学，为这些学科的发展提供了奠基性的方法，近代数学就建立在集合论的基础之上. 正如希尔伯特所说，“没有人能把我们从Cantor为我们创造的乐园中开除出去”.

集合论的主要思想表现在：初等集合论思想、实无穷与超穷思想、集合对应思想[1]. 其中，在初等集合论思想指导下，我们可以把一类研究对象作为一个整体进行研究，依据概括原则可以构造一个集合，依据外延原则保证集合的确定性；集合对应思想反映了两个集合的元素间的关系. 这些思想蕴含在集合单元的有关知识内容之中，如集合的运算中蕴含着运用求交集方法解决问题的思想，波利亚将其提炼为解决问题的“交轨模式”.

其次，集合的语言是现代数学的基本语言．集合语言是现代数学语言的重要组成部分. 数学语言和自然语言的重要区别在于数学语言更加精确，不容易产生歧义. 在基础教育阶段学习使用集合的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对象，更好地描述所研究的对象之间的关系．

例如，我们可以把每种几何图形看成是一个点集，然后研究它所包含的点在位置及数量关系方面的共同特征，这样往往能够得到比直观更为深刻的结论. 线段AB的垂直平分线可以简洁地表示成点集{P|PA=PB},它揭示了线段垂直平分线的本质所在. 又如，我们可以利用集合语言刻画四边形及其特例的关系：{四边形}⊃{平行四边形}⊃{矩形}⊃{正方形}. 再如，我们应用集合与对应的语言可以进一步描述函数概念，从而突出函数是两个数集间的一种确定的对应关系的本质特征，等等.

1.2 集合单元的教育价值

集合单元的教育价值首先表现在：用集合语言简洁、准确和深刻地表达数学内容的过程中，可以很好地发展数学抽象等素养. 数学抽象主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征. 集合语言的学习体现了数学抽象过程的主要特征：集合的含义是在学生学习积累了大量集合例证的基础上概括出来的，在获得集合含义后就有必要用数学语言表征这个数学研究对象，进而研究集合之间的关系，最后研究集合的应用.

集合单元的教育价值还体现在可以展示学习研究数学的一种路径或方式：通过观察抽象归纳辨析等获得集合(数学研究对象)——研究集合的表示——类比实数间的关系研究集合间的关系——类比实数的运算研究集合的运算——集合的应用. 通过这一数学的方式[2]，帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学研究对象，学会用数学的语言表达和交流，体会用集合语言表达数学内容的优点，积累数学抽象的经验，发展数学抽象、数学运算、逻辑推理和直观想象等数学学科核心素养.

2 集合单元数学学科核心素养的培养

现行各种高中数学教科书都有集合初步单元，它们都呈现了“集合的含义——集合的表示——集合间的关系——集合的运算”等知识内容结构，这一结构较好地反映了课程标准中关于集合单元的内容要求，为实现集合单元的育人价值提供了载体.在集合单元的教学中培养数学学科核心素养，需要依托以下三个过程.

2.1 依托集合的概念理解与表示过程

集合的概念是通过概括实例形成的. 我们可以借助实例，分析这些实例中各自的研究对象，如果发现研究对象都满足一定要求或具有一定特征，则把研究对象统称为元素，元素组成的总体就形成一个集合.

上述过程是理解集合的含义不可或缺的过程. 其中实例要丰富和典型，它是理解集合含义的素材. 这些实例既要包括学生在小学和初中接触过的一些数学的例子，如自然数、有理数的集合，不等式x-2<3的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合；又要包括现实生活中的例子，如我们学校2019年9月入学的所有高一学生；还要包括科学情景的例子，如我国从1970～2018年49年内所发射的所有人造卫星，等等. 丰富而典型的实例，既可以帮助学生打开视野，又可以帮助学生辨析、理解概念含义，领会其中的概括原则.

理解集合的含义，需要感悟集合中蕴含的外延原则，即给定一个集合，任何一个元素在不在这个集合中就确定了；一个给定集合的元素是互不相同的，集合中的元素不重复出现；这样，只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.

理解集合的含义，还需要经历一个用自然语言到用符号语言、图形语言描述集合的过程. 例如，可以设计这样的活动：结合几个具体的例子，试比较用自然语言、列举法、描述法和区间表示集合时，各自的特点和适用的对象. 在自然语言描述集合、列举法表示集合、描述法表示集合、区间表示集合和文氏图表示集合的转换中，感受各种语言和方法表示集合的优点及适用对象，体会用集合语言表达数学研究对象的简明和深刻性：一般地，集合A的元素用x表示，所有x的共同的特征性质用P(x)表示，则集合A就能表示成{x|P(x)}. 集合A表示成{x|P(x)}意味着，凡具有性质P(x)的对象x都是A的元素，凡是A的元素都具有性质P(x).

2.2 依托集合的关系建立与运算求解

集合之间的关系和运算对学生来讲是全新的，但我们可以借助学生已有的知识与经验引发思考. 如，实数有相等关系，大小关系，你能由实数之间的大小关系，类比想到集合之间的何种关系？你又是如何类比两个数的运算，想到两个集合之间的有什么运算？设计这样的数学思考与探究活动，结合具体的问题情境，在类比、概括等数学活动中，建立集合的关系和基本运算，就能有效地积累数学抽象的经验，发展数学运算和逻辑推理能力.

例如，集合间包含关系的建立. 在问题“如何类比两个数的关系思考两个集合之间的关系”的引导下，观察如下具体的集合实例：

(1)A={1，2，3},B={1，2，3，4，5}；

(2)设A是我们学校高一(1)班的全体学生组成的集合，B是我们学校全体学生组成的集合；

(3)C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}.

通过观察上述分别用列举法、自然语言和描述法表示的三组集合，发现每组集合中，第一个集合中的每个元素都属于第二个集合，把两个集合之间的这种关系概括出来就形成子集的概念；进一步，可以发现(3)中集合D中的每个元素也都属于集合C，这样集合相等的概念自然而生(与实数中的结论“若a≥b且a≤b则a=b”类比)；再进一步，还可以发现(1)(2)还同时存在B中至少有一个元素不属于A，这样，真子集的概念应运而生.

如此，在类比思想的指导下，通过观察、分析一个集合中的元素与另一个集合的从属关系，进而概括出两个集合之间的基本关系，并用文字和符号语言加以定义、用图形语言加以表示. 学生的抽象概括能力就是在这样具体的概念建立、表征过程中逐步形成的.

2.3 依托集合的语言表达与运用

使用集合的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对象，这源自集合蕴含的概括原则和确定原则；依据集合的表示、基本关系和基本运算，我们可以更好地描述所研究的对象之间的关系，解决问题.

首先，使用集合语言，引导学生梳理、表达学过的相应数学内容. 例如，我们可用集合语言表示平面几何对象或位置关系. 用P表示平面内的动点，则以O为圆心，半径为5的圆表示为集合{P|PO=5}；设平面内有△ABC,且P表示这个平面内的动点，我们可以问学生集合{P|PA=PB}表示什么？属于集合{P|PA=PB}∩{P|PB=PC}的点又是什么？我们还可以用集合语言表示平面内两直线的三种位置关系：直线l1、l2相较于一点P可表示为l1∩l2=P，直线l1、l2平行可表示为l1∩l2=Ø,直线l1、l2重合可表示为l1∩l2=l1=l2,等等.

其次，使用集合语言，引导学生描述和解决问题. 用集合语言描述问题，可以帮助学生打开分析、解决问题的新思路. 例如，学校里开运动会，设A={x|x是参加一百米跑的同学},B={x|x是参加二百米跑的同学},C={x|x是参加四百米跑的同学}. 学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，我们就可以引导学生利用集合的运算来说明这项规定(A∩B∩C=Ø)，并解释“A∪B”、“A∩C”的实际含义. 在上述背景下，高一(1)班进行了预赛，共有28名同学参加上述三项比赛，有15人参加一百米跑,有14人参加二百米跑,有8人参加四百米跑,同时参加一百米跑和二百米跑的有3人，同时参加一百米和四百米跑的有3人，没有人同时参加三项比赛. 我们就可以引导学生借助集合运算的文氏图，求得同时参加二百米跑和四百米跑的有多少人，只参加四百米跑一项比赛的有多少人，等等.

以课程标准中最基本的核心知识为载体，利用学习过的数学知识分析和解释现实的、数学的、科学的情境中的问题，以蕴含数学知识之中的数学思想方法为指导解决问题，是培养数学学科核心素养的关键过程，数学学科核心素养就是在这样的日积月累中得以培养的.

3 对数学教学的启示

根据上述集合单元育人价值及培养数学学科核心素养的过程的分析，我们认为对数学教学有如下启示.

首先，要重视挖掘有关数学内容对培养提高学生素养方面可能的推动与贡献. 数学课程标准根据数学学科的特点凝练出的六个数学核心素养，是与具体的数学内容相联系的. 为此，挖掘数学内容单元对数学核心素养的贡献，建构与教材单元(章节)内容对应的核心素养细目表[3]，是利用数学的内在力量实现立德树人的正道.

其次，要设计、选择与数学学科内容特征、数学核心素养相对应的学习方式. 数学知识的习得需要与习得知识的科学的过程相匹配，只有这样，知识技能才有可能成为素养. 换句话说，学什么(知识与技能)、怎样学(过程与方法)、学会什么(能力、品格、观念)是一个整体，具有内在的一致性，我们不能把三者割裂开来去行动.

总之，集合作为高中数学课程的起始单元，学生学习本单元的经历和成效，对其学习整个高中数学课程的学习心理、学习方式有重要影响. 我们应该尽可能地以义务教育阶段数学课程内容为载体，组织合适的现实情境或数学情境，从中概括出集合、集合的关系和运算等数学对象的一般特征，用自然语言、图形语言、符号语言表达这些数学研究对象，并进行三种语言的转换，展现集合语言的魅力，用这样的数学方式促进学生数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养的发展.