近似非齐次指数序列的非等间距IANGM(1，1，k)模型构造

陈 静，陈友军

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637002)

一、引言

邓聚龙教授创立的灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小数据”“贫信息”为研究对象，已被广泛应用到经济、军事、工程技术等领域[1-3]。GM(1，1)模型是灰色预测模型中的核心模型之一，被众多学者广泛研究与应用，但GM(1，1)模型是在原始序列满足等间距条件的基础上建立的，对于现实中大量存在的非等间距的数据序列是不适用的，因此构建非等间距的灰色预测模型具有重要的现实意义。近几年，学者们针对非等间距的GM(1，1)模型的应用与研究有以下几个方面：(1)数据变换[4]；(2)模型改进[5-11]；(3)背景值优化[7-9]；(4)初始条件优化[7，12-14]；(5)模型的参数估计[15-16]。通过分析上述优化模型中白化方程解的表达式累减还原后的结果，不难发现关于原始数据序列的表达式具有齐次指数或近似非齐次指数的特征，而上述文献中的实例表明了具有近似非齐次指数规律的非等间距模型具有更理想的模拟和预测效果。在工程技术领域，存在大量的近似非齐次指数特征的非等间距序列，因此，针对非等间距GM(1，1)模型中的数据序列满足近似非齐次指数特征，学者们做了以下研究：Kong Xinhai在针对近似非齐次指数序列的DGM(1，1)模型基础上根据对称变换提出了基于凸序列的非等间距DGM(1，1)模型，并把基于凸序列的非等间距DGM(1，1)模型用于预测中国人均天然气消费[4]；姜爱平提出利用非齐次指数序列来拟合非等间距原始序列的灰色建模方法，并将建立的模型应用于腐蚀体系的实验数据模拟和大坝沉降观测数据的预测中[8]；张锴等构造了一个用非齐次指数序列来拟合原始数据序列的非等间距灰色模型，以原始数据序列的观测值与模拟值的相对误差平方和最小为目标，推导出新模型参数的最小二乘解及其时间响应函数的表达式，改进的这一模型被用于福雷斯研究钛合金疲劳强度随温度变化实验的模拟预测中[9]。

纵观上述非等间距序列的灰色模型研究，尽管优化的灰色模型在建模精度上有一定程度的提高，但建模效果仍然不尽如人意，主要原因有：(1)数据序列类型不适合模型构建；(2)模型中的灰色微分方程和白化微分方程不匹配导致模型本身存在误差；(3)模型需要对白化微分方程解的时间响应式作累减还原后才能进行模拟和预测；(4)对于非等间距模型中的一次累加生成序列的两种定义形式，存在使用不同定义下的一次累减生成序列建立非等间距模型时产生计算误差。

为了提高建模精度，综合分析上述导致建模效果不理想的因素后，本文提出利用原始序列与其对应的一次累减序列直接建立灰色微分方程和白化微分方程匹配且符合近似非齐次指数规律的非等间距IANGM(1，1，k)模型，结合最小二乘方法估计出模型的参数，然后通过模型的白化微分方程直接解出关于原始序列的时间响应式，最后将估计的参数值代入时间响应式后就能直接进行模拟和预测。通过将提出的近似非齐次指数序列的非等间距IANGM(1，1，k)模型分别用于高层建筑累计沉降观测数据的模拟、预测和P.G福雷斯对钛合金疲劳强度随温度变化的实验数据进行模拟，建模结果验证了近似非齐次指数序列的非等间距IANGM(1，1，k)模型具有较高的模拟和预测精度，同时说明了本文模型在工程技术领域中的应用使得非等间距的灰色预测模型得到进一步拓展，本研究具有一定的现实意义。

二、非等间距NGM(1，1，k)模型的建模机理

针对近似非齐次指数特征的非等间距序列，崔杰提出非等间距NGM(1，1，k)模型[17]：

定义1设非负序列X(0)={x(0)(k1)，x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}，若间距Δki=ki-ki-1不为常量，则称X(0)为非等间距序列。

x(0)(ki)+az(1)(ki)=kib，i=2，3，…，n

通过非等间距NGM(1，1，k)模型可以看出：(1)模型中的灰色微分方程与白化微分方程是不相匹配的，这会使模型本身存在误差；(2)上面建模过程中所用一次累加序列是王钟羡等人定义的一次累加生成序列[18]，若使用邓聚龙教授给出的一次累加序列生成算法进行建模，必然会因为两种不同形式的一次累加算法产生不同的计算结果；(3)由模型的累减还原结果可知原始序列满足非齐次指数形式，但实际应用中存在大量近似非齐次指数形式的数据序列。

为了减少非等间距灰色模型建模过程中的模型误差，使模型适用于现实中大量存在的近似非齐次指数序列，本文在上述非等间距灰色模型的建模机理基础上，提出了基于原始数据序列与其对应的一次累减序列建立灰色微分方程与白化微分方程相匹配的近似非齐次指数序列的非等间距IANGM(1，1，k)模型。

三、非等间距IANGM(1，1，k)模型的构建

(1)

其中z(0)(ti)为x(0)(t)在区间[ti-1，ti]上的背景值，且z(0)(ti)=[x(0)(ti)+x(0)(ti-1)]/2，模型(1)为离散的非等间距灰色模型。

证明：

(2)

将式(2)两边同时积分化简得：

(3)

(4)

四、实证分析

(一)实例1

随着中国城市建设的不断发展，公众对高层建筑的安全性要求也越来越高，对高层建筑的沉降观测是保证建筑质量不可或缺的工程设计。因此，对沉降观测数据的分析成为了重要的环节。现将符合近似非齐次指数特征的非等间距数据序列——某高层建筑累计沉降观测数据(递增序列，原始数据如表1所示)的前8个数据用于建模，后两个数据用于预测。分别将张锴、熊萍萍、奚雷等提出的优化模型与本文模型进行比较，学者们提出的模型为模型(1)、模型(2)、模型(3)[11，13-14]，比较结果如表2、表3所示。

表1 某高层建筑累计沉降观测值

1.建模步骤

Step 1：由观测值的前8个数据建模，后两个做预测，由ki=[1 25 53 83 116 147 177 237]，观测值序列x(0)(ki)=[9.28 10.71 11.31 11.64 12 12.23 13.05 13.16]，计算对应的Δki=[24 28 30 33 31 30 60]，x(-1)(ki)Δki=[1.43 0.60 0.33 0.36 0.23 0.82 0.11]及紧邻均值序列z(0)(ki)=[9.995 11.010 11.475 11.820 12.115 12.640 13.105]。

计算出参数a=0.043 5，b=0.000 4，c=0.483 6。

2.结果分析

由表2可知，四种模型对于某高层建筑累计沉降数据的模拟和预测误差均在6%以内，模型的建模精度较高，说明了非等间距模型在高层建筑沉降观测中的适用性。模型(1)、模型(2)、模型(3)的平均相对误差为：1.365 5%、1.969%、0.936 9%。本文模型是基于近似非齐次指数规律的数据序列建立的，模型的模拟平均相对误差为0.924 1%，模拟精度较熊萍萍等的模型明显提高。

表2 四种模型的模拟值及相对误差比较

注：表2中各模型的模拟预测数据来源于张锴、熊萍萍、奚雷的建模结果[11，13-14]。下表同。

表3 四种模型的预测值及相对误差比较

由表3可知，本文模型的一步预测相对误差为0.147 0%，模型(1)～模型(3)一步预测的相对误差分别为1.498 7%、0.659 3%、1.542 9%；本文模型两步预测的相对误差为3.658 5%，模型(1)、模型(2)、模型(3)两步预测的相对误差分别为5.397 1%、4.540 9%、3.729 2%，显然本文模型的预测精度显著优于模型(1)、模型(2)、模型(3)，说明本文提出的近似非齐次指数序列的非等间距IANGM(1，1，k)模型可应用于实际问题的短期预测。本文提出的近似非齐次指数序列的非等间距IANGM(1，1，k)模型的模拟精度和预测精度相比张锴、熊萍萍、奚雷等提出的优化模型具有更理想的建模效果，说明了模型在实际建模中的有效性[11，13-14]。

(二)实例2

钛合金一直是航空航天工业的重要材料，因其具有强度高、耐腐蚀性好、耐高温等优点，钛合金在石油、化工、生物科学等领域也得到了广泛应用。由于钛合金在高温下与其它材料的化学反应性差，迫使其精炼、熔融和铸造技术不同，这成为了钛合金价格十分昂贵的主要原因，因此研究钛合金在高温状态下的疲劳强度十分必要。P.G福雷斯发现钛合金疲劳强度随温度变化的实验数据(递减序列，如表4所示)符合近似非齐次指数序列的非等间距灰色预测模型建模要求，现将实验数据用于本文提出的IANGM(1，1，k)模型中，并与胡大红、姜爱平、张锴、丁松提出的优化模型进行比较[7-10]，胡大红等学者提出的模型分别为模型(4)、模型(5)、模型(6)、模型(7)，比较结果如表5所示。

表4 钛合金疲劳强度随温度变化的实验数据

1.建模步骤

2.结果分析

由表5中的结果可知，模型(4)模拟值的平均相对误差为0.42%，模型(5)模拟值的平均相对误差为0.33%，模型(6)模拟值的相对误差为0.304 4%，模型(7)模拟值的平均相对误差为0.35%，而本文提出的非等间距IANGM(1，1，k)模型的模拟值平均相对误差为0.298 8%，建模精度更高，建模效果也更理想，体现了本文模型的实用性。

表5 五种模型的模拟精度比较结果

注：表中各模型的模拟值来源于胡大红、姜爱平、张锴、丁松等的建模结果[7-10]，为了比较方便，模拟值和相对误差均保留两位小数。

五、结束语

近似非齐次指数序列的非等间距IANGM(1，1，k)模型，其灰色微分方程和白化微分方程在积分理论基础上互相匹配，避免了传统灰色模型因灰色微分方程和白化微分方程不匹配而产生误差。模型的建立是基于原始序列与其对应的一次累减生成序列，因此由白化微分方程解得的时间响应函数表达式不需要累减还原过程，就能直接进行模拟和预测，较传统模型建模后还原简化。通过将非等间距IANGM(1，1，k)模型用于工程技术领域中高层建筑累计沉降观测数据的模拟和预测及P.G福雷斯研究钛合金疲劳强度随温度变化的模拟中，并分别与有背景值优化、初始条件优化及模型改进的优化非等间距模型进行比较，结果表明近似非齐次指数序列的非等间距IANGM(1，1，k)模型具有较高的模拟精度和预测精度，这也说明本文模型适用于非等间距的近似非齐次指数序列的短期预测，在拓宽灰色预测模型的适用范围上具有一定的现实意义。