支付连续红利的欧式脆弱期权定价

朱庆强，张二姚，费为银

(安徽工程大学 数理学院，安徽 芜湖 241000)

信用衍生产品自1992年出现以来一直深受投资者喜爱，故而得以快速发展，其中场外交易(Over the Counter，OTC)总额占衍生品交易总额的大部分。在场外交易的过程中，交易对手的信用风险是一个必须考虑的因素，因此，对场外交易市场上含有信用风险期权定价问题的研究具有实际意义。Black[1]等提出了经典的期权定价模型，该模型使得期权定价得到突破性进展。Merton[2]创立了含信用风险公司债券定价的模型，该模型在假设公司资本由资产和负债组成，到期时如果资不抵债则发生违约的前提下，将期权定价公式引入零息债券信用风险定价中。Johnson[3]等扩展了Merton[2]的公司债券违约模型，提出了脆弱期权定价模型，考虑了信用风险条件，使得模型更贴合实际。Hull[4]等在标的资产和交易对手的资产具有独立性的前提下，假设违约可以发生在到期前的任何时候，得出脆弱期权的定价公式。Klein[5]放弃了Hull-White模型中可以提前违约的假设，而沿用Merton[2]的违约只能发生在到期时的假设，但对Johnson[3]等的债务假设进行了扩展，假定公司资本结构中除了期权外，还包含有其他债务，并假定公司价值低于某一固定违约边界时发生违约，在这些假设前提下，通过鞅测度得到一个显式解。Klein[6]等在Klein[5]的基础上，推导出一种欧式期权的解析公式，该公式受到衍生产品潜在价值和利率变化的影响。

上述文献的分析公式通常是利用概率论推导出来的，这也是大多数学者所使用的方法。然而，根据定价问题的不同，基于Mellin变换的分析方法可能是更好的选择，这种分析方法对于偏微分方程的变换是一个非常有用的工具。一般来说，如果Mellin变换技术对给定期权的定价是合理的，那么它就不需要像概率论那样进行复杂的计算。Panini[7]等使用Mellin变换分析方法得到了欧式标准期权和一篮子期权的定价公式。Frontczak[8]等用Mellin变换来评估美式看涨期权价格。Elshegmani[9]等使用Mellin变换导出了一个亚式期权的解析解。Chandra[10]等将Mellin变换应用于障碍期权和回望期权，得到了期权价格的解析积分公式。Frontczak[11]用Mellin变换技术求解了偏积分-微分方程，得到了期权在跳扩散模型中的定价公式。Yoon[12]等利用双Mellin变换研究了固定利率和随机利率下的欧式脆弱期权。

考虑到期权有效期内标的资产常有红利支付，很多学者展开了对有红利支付的期权定价问题的讨论。早在1973年，Merton便在考虑支付红利对期权价值的影响后对Black-Scholes公式作了推广。Krausz[13]，Shackleton[14]等，Chang[15]等给出了支付连续红利的欧式期权定价公式。李晓雷[16]等研究了标的资产价格具有连续支付红利和定期支付红利两种情形下的欧式期权定价模型和公式。王继霞[17]等研究了在Heston随机波动模型下，支付连续红利的timer期权定价的Black-Scholes-Merton型公式。程志勇[18]等考虑了支付连续红利的情形，建立了次分数布朗运动下的期权定价模型，并且得到了支付红利的次分数布朗运动环境下的欧式看涨期权定价公式。

在文献[12]研究的基础上，假设股票价格和公司价值存在连续红利支付，使其更为贴合实际，基于Mellin变换分析方法得到了不完备信息下含有信用风险的欧式脆弱期权定价解析公式。

1 基本模型

令St为期权在t时刻的标的股票价格，μs和σs分别为标的股票价格的常数漂移率和波动率。并且令Vt为期权t时刻的公司价值，μv和σv分别为公司价值的常数漂移率和波动率。因此，St和Vt的随机微分方程为

考虑支付连续红利会对标的资产的股票价格和公司价值造成影响，假设红利收益率为q，利用Girsanov定理，上述方程在风险中性测度下可转换成如下随机微分方程

设T是期权的到期日，对于欧式脆弱期权，边界条件由收益函数所决定，取决于t=T时刻下公司财务危机情况。一个欧式脆弱看涨期权的收益函数可以表示为

P(t,s,v)=E*[e-(r-q)(T-t)h(ST,VT)|St=s,V=v],

(1)

利用Feynman-Kac公式，在终端条件P(T,s,v)=h(s,v)下，价格P(t,s,v)变成如下偏微分方程的解

￡P(t,s,v)=0,t

(2)

其中,I为单位算子。

2 欧式脆弱期权定价公式

假设将Pn(t,s,v)定义为

Pn(t,s,v)=E*[e-(r-q)(T-t)hn(ST,VT)|St=s,V=v]，

(3)

在终端条件P(T,s,v)=h(s,v)下，将PDE ￡P(t,s,v)=0,t

(4)

式(4)的解为

(5)

为了计算式(5)，令

(6)

式(6)就是eA(s*,v*)(T-t)双Mellin变换的逆。由式(4)和τ=T-t可得，B(τ,s,v)为

(7)

为了准确地计算b(τ,s,v*)，将用如下引理。

证明 令s=ω+β，那么

这里c*=c+β。如果s=c*+iz，则f(x)可以表示为

于是引理得证。

由引理1，式(7)的b(τ,s,v*)可变换为

因此式(7)就如同

(8)

再次运用引理1，式(8)可表示为

(9)

将式(9)代入式(8)可得

此时，为了计算式(5)的Pn(t,s,v)，将会用到引理2。

证明参见文献[19]中定义1。

然后取极限n→∞得到

(10)

在定理1中，分别计算P1(t,s,v)和P2(t,s,v)，然后得到期权价格P(t,s,v)的封闭型解析公式。

定理1 由式(1)可以得到，支付连续红利的欧式脆弱看涨期权的价格为

P(t,s,v)=sN2(a1,a2,ρ)-e-(r-q)(T-t)KN2(b1,b2,ρ)+

(11)

式中,

P1(t,s,v)=

P10(t,s,v)-P11(t,s,v)。

(12)

式(12)中被积函数的指数形式为

式中，

并且D1=0由待定系数法确定。另一方面，P11(t,s,v)为

(13)

利用待定系数法，式(13)中被积函数的指数形式可以由如下式子给出

式中,

并且D2=-rτ。

因此，假设

得到

sN2(a1,a2,ρ)-e-(r-q)τKN2(b1,b2,ρ)。

(14)

其次，用自变量x和y表示，式(10)可表示为

运用对P1(t,s,v)的计算方法，P2(t,s,v)可变为

(15)

式中,

最后结合式(14)和式(15)可以得到式(11)，定理1得证。

推论1 由定理1，可知支付连续红利的欧式脆弱看跌期权的价格为

P*(t,s,v)=-sN2(-a1,a2,ρ)+e-(r-q)(T-t)KN2(-b1,b2,ρ)-

(16)

3 数值分析

看涨期权价值会随着红利支付减少，而看跌期权价值会随着红利支付增加。为了验证式(11)和式(16)的科学有效性，也为了更好地说明红利收益率对欧式脆弱期权定价的影响，参照大多数商业情况，通过调节相关系数获得最符合实际市场的期权定价。因此数值分析中脆弱期权的计算基于以下参数值σS=0.3,σV=0.3，α=0.6,ρ=0.5,r=0.05,s=40,v=5,D=5,D*=5,K=35,T=1,t=0.75。

将红利收益率q在[0,0.05]之间取值，可得红利收益率与期权定价的关系图。红利收益率q与看涨期权价格P关系图如图1所示。红利收益率q与看跌期权价格P*关系图如图2所示。由图1和图2可知，红利收益率的增加会导致看涨期权价格随之递减，而看跌期权价格随之递增，这与实际相符，原因是红利的支付会降低股票价格，从而影响公司价值。由于看涨期权的内在价值等于股票价格减去期权的兑现价值，而连续红利的支付降低了股票价格，因此红利收益率的增加会降低欧式脆弱看涨期权的价格。反之，会提高欧式脆弱看跌期权的价格。

图1 红利收益率q与看涨期权价格P关系图 图2 红利收益率q与看跌期权价格P*关系图

4 结论

由于连续红利的支付会引起标的股票价格和公司价值的下降，因此，需要研究一种模型来说明标的股票和公司价值存在连续红利支付在脆弱期权定价中的影响。与大多数文献不同的是，研究利用双Mellin分析方法推导出了欧式脆弱期权的定价模型，并且由于运用的是双Mellin变换分析方法，规避了偏微分理论的繁琐运算，得到了一种带有连续红利支付的欧式脆弱期权的闭型解，同时也为后面研究随机波动率下欧式脆弱期权定价提供了方法。数值结果表明，红利收益率的增加会引起欧式脆弱看涨期权定价值的减少和欧式脆弱看跌期权定价值的增加。