探析高考数学中恒成立问题的解题策略

吉世龙

摘 要：在高中数学的内容体系中，恒成立问题是一个综合性问题，涉及到很多知识内容、数学思想和解决方法。因此，它对学生来说是非常困难的，也是考试的重点和难点之一。在实际教学过程中，一些学生解决问题的思维和方法更加主观，缺乏系统科学的思维方式和解决方法。在此背景下，本文系统地探讨了常见问题，并研究了相应的解决方法，以提高学生的学习效率。

引言

高中恒成立问题的一般形式是以解决不等式和等式的价值为前提的。它有时与几何问题相结合，也可转化为代数问题。在解决这类问题时，最常见的解决方法是将其转换为函数问题。通过函数的周期性、奇偶性等性质，并结合已知信息，从本质上解决了函数的恒成立问题，恒成立问题是求解方程（不等式）的前提。由于它涉及到函数的性质，在解决问题的过程中要充分利用函数的像，借助函数的奇偶性和周期性直观地反映函数的最大值和范围的分布。本文探讨了关于高中恒成立问题的几种解析方法：

一、参变分离法

参变分离法是指将参数与变量分开考虑，然后借助函数图像和属性来求解参数的取值范围，从而简化表达式，降低求解难度。在实际的教学和考试过程中，使用这种方法可以帮助学生有效地避免复杂的代数运算，既节省了宝贵的时间，又大大提高了答题的准确性[1]。

总结：这个问题同时包含了参数和变量。如果一起考虑计算是很困难的。因此，利用参数变量分离的思想可以有效地对已知信息进行排序，将寻找参数范围的问题转化为函数的最大值问题，进而求解最终结果。

二、数形结合法

为了解决恒常性问题，如果只从代数的角度考虑则很难求解，而且计算量较大或难以得到结果。此时，我们需要仔细观察代数公式的形式，并将其与几何概念结合起来，利用直观的几何图形辅助求解，从而得到代数与图的关系，然后求解周围参数的取值范围[2]。

总结：数形结合的数学思维方法可以将单纯的代数问题转化为几何图形问题，使抽象问题具体化。当然，数形结合的方法并不是万能的。使用该方法的前提是通过项的移位和变形，将原代数表达式转化为几个常见的概念表达式。常见的几何图形有直线、圆、半圆等。

三、构造函数法

在求解一类最值问题的过程中，我们可以利用完全平方公式将极值问题转化为二次函数问题。我们可以借助函数的图像和性质，通过构造函数求解具体的值，而不是机械的代数运算。同时，如果已知表达式包含一个以上的变量，一般需要结合题目要求和已知信息来改变变量，需要借助范围明确的变量来求解未知范围变量的值[3]。

总结：在解决这一类恒成立问题时，多数学生往往会纠结于参数、变量的区分与选择，甚至有部分同学认为字母“x”就一定代表着变量，而除此之外的字母，如“a”、“m”、“n”等就一定是参数，进而将求解的重点混淆，使得题目复杂化甚至出现错误。因此，在解决问题之前，必须仔细检查问题，明确题目的要求，整理题目中已知的信息和已知的数量，转换思维，简化或转换已知信息中的表达式，最终快速准确地解决问题。

结语

因此，在教学过程中，我们需要注意对学生思维的培养。教师不仅要引导学生掌握正确的解决问题的方法，而且要端正学生的思维方式。我们要找到不断建立问题与具体数学思维方法之间的联系，并举一反三。

参考文献：

[1]徐健.不等式恒成立问题的求解方法和误区[J].新课程·下旬，2018，（12）：137.

[2]包广啟.处理不等式恒成立问题的多种视角[J].高中數理化，2018，（19）：10-11. DOI：10.3969/j.issn.1007-8312.2018.19.006.

[3]张磊.专谈数学中的“恒成立”问题[J].高中数理化，2018，（20）：9. DOI：10.3969/j.issn.1007-8312.2018.20.007.