树状图在数学分析教学中的应用

苏丹

摘 要：树状图是把分类单位摆在图上树枝顶部，根据分枝可以表示其相互关系，它可以既不重复又不遗漏地列举出所有符合条件的对象。本文针对树状图在数学分析教学中的几点应用进行讨论。

关键词：树状图;复合函数;二元复合函数;隐函数;隐函数组;全微分;求导

【中图分类号】G【文献标识码】B【文章编号】1008-1216（2019）09B-0098-03

数学分析课程中涵盖了大量的基础性概念知识，这会使学生在学习的过程中感到抽象与枯燥，从而导致学生的学习兴趣下降，最终影响对学生数学实际应用技能的培养。在教学过程中积极探索该课程的实践性已成为近年来教学改革的热点，目的在于激发学生学习数学分析的兴趣，提高课堂教学效果。本文主要针对树状图在数学分析教学中的应用进行讨论。

树状图是不包含回路的连通图，也叫树枝状图。树状图本身由结和连接结的枝组成。在日常事物关系中，树状图的应用情况是很多的。比如，封建时代的家谱或者族谱是用树状图来代表的;河流的支流和分支也可用树状图来表示;在学习概率问题时经常需要画树状图，在概率统计这门课程中，树状图起到了一种“模型”的作用，它可以清晰地看出元素的排列顺序及层次，进而准确地计算出排列种数，使之不重复，不丢项;同样的，树状图在数学分析教学中也有比较重要的应用，在进行多元复合函数求偏导数，多元复合函数求高阶偏导数，多元函数求全微分，隐函数和隐函数组求偏导数等运算时，树状图就发挥了可以不重复又不遗漏的特点，给我们解决问题提供了极大的便利。下面，从这四个方面分别阐述一下树状图在数学分析教学过程中的应用。

一、用树状图在二元复合函数求一阶偏导以及求全微分中的应用

多元函数的复合函数求偏导数运算与一元函数的求导运算比较起来，因为变量个数增加，同时变量间也满足一定的函数关系，所以处理起来一般比较复杂，它在数学分析的学习过程中既是重点，同时也是难点。我们必须特别注意正确区分复合函数中哪些是自变量，哪些是中间变量，只有这样才能正确使用链式法则求出结果;其次，为了便于记忆链式法则，可以按照各变量间的复合关系，画出树状图，并在每一条分支上标出上一个变量关于下一个变量的求导关系，最后再按照同一路径的不同分支之间用乘法运算符号连接，不同路径之间用加法运算符号连接的运算法则进行运算，就能得出最终的运算结果。

下面通过二元复合函数的例子看怎么利用树状图解决此类问题。

例1：设 z=（x+y）^xy，求dz 。

解：本题是计算二元复合函数全微分的，那么我们首先要弄清楚求全微分和求偏导数之间的关系，进而再解决问题。

关于二元复合函数如何求全微分，我们已经学习了如下定理：

若二元函数z在其定义域D内每一点（ ）都可微，则z在每一点关于每个自变量的偏导数都存在，且z在D上全微分为dz（x，y）=z_x（x，y）dx+z_y（x，y）dy

观察求解全微分的公式，可以看出要想计算dz，首先要先计算出zx和zy，也就是说求全微分的本质就是计算二元复合函数关于其所有自变量的一阶偏导数。那么在计算之前要先判断变量与变量之间的关系，哪些是中间变量，哪些是最终自变量。

为了更容易理解，在这里的处理方法有一定技巧，可以先令，则z=uv，从这里可以看出来引入的u和v是中间变量，而x和y是最终自变量，接着就可以用画出树状图1表示求导关系。首先，从因变量z向中间变量u，v画出两个分枝，然后再分别从中间变量u，v向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数，求zx时，只要把从z到x的每条路径上的各个偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得，同理可以求出 。下面列出算式：

根据树状图1，结合运算法则，得到则

注：在处理这种题型时，我们也可以利用多元函数的一阶全微分形式不变性的知识点来求全微分，利用微分形式的不变性，可以有条理地计算复杂函数的全微分。但是本文着重点在于介绍树状图的方法，利用不变性的这种方法就不再赘述了。

二、用树状图在二元复合函数求二阶偏导中的应用

众所周知，多元复合函数求高阶偏导数时往往会出现各种各样的问题：比如不能正确使用公式，少项、多项等，特别是函数关系是抽象的函数时，因为函数具体表达式不清楚，学生在学习和解决这部分题目时往往无从下手，所以更容易出现错误。分析其错误时，不难发现主要在对一阶偏导再求导这一步上，没有弄清楚一阶偏导函数仍然是以原来的中间变量为中间变量，原来的自变量为自变量的函数，因而不能很好利用复合函数求导公式，如果利用树状图就可以避免出现这类错误。因为树状图可以清晰地表示出每上一个变量与下一个变量的关系，从而做到不漏项、不多项，所以在解决计算多元复合函数高阶偏导数的问题时，可以优先考虑画出树状图，进行计算，会使问题简化很多。

下面通过例题来说明。

例2. 设

解：通过观察题意可知，这里z是以x，y为自变量的复合函数，而且这里函数f的形式是抽象函数而不是具体函数，要想解决此类问题，可以把函数表达式改写成如下形式： 然后再进行计算，可以先计算，其中引入的变量u，v为中间变量，变量x，y为最终自变量。接下来可以首先从因变量z向中间变量u，v画出两个分枝，然后再从中间变量u向自变量x画出分枝，同时从中间变量v向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数，求 时，只要把从z到x的每条路径上的各个偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得，同理可以求出 。下面列出算式：

借助于树状图4表示求导关系：

所以有

注意：这里，仍然是以u，v為中间变量的复合函数，所以接下来可以首先从因变量向中间变量u，v画出两个分枝，然后再从中间变量u向自变量x画出分枝，同时从中间变量v向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数。另外从因变量向中间变量u，v画出两个分枝，然后再从中间变量u向自变量x画出分枝，同时从中间变量v向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数，最后利用用树状图3和树状图4，求。

首先有

其中可由树状图3求得：

所以得到

同理也可以求  。

注意：用树状图进行多元复合函数求导时，不要求解释具体的关系，只是借用树状图的结构，将多元复合函数的求导形象化，避免多项，漏项。

三、用树状图在隐函数和隐函数组求导中的应用

在一般情况下，我们在用隐函数的知识解决问题时，主要考虑隐函数的连续性和可微性，而不管它是否能用显式表示。同样，对于隐函数组，我们在进行求导时，更重要的先明确哪些变量是自变量，哪些变量是因变量，然后再进行有关的运算和讨论。这些特点，都为能采用树状图去解决隐函数和隐函数组求导问题提供了便利。

另外，对于隐函数或者隐函数组的函数表达式是具体函数时，一般不采用树状图，而是直接利用公式或者直接对式子本身去求导即可，而对于隐函数和隐函数组的具体函数表达式不具体时，树状图的应用就凸显了优势，当然在这里更重要的是要找到变量与变量间的关系，画出树状图。下面主要通过隐函数组的例子来具体说明一下：

例3. 设函数f（x，y），g（x，y）具有连续偏导数，而u=u（x，y）v=v（x，y）是由方程组确定的隐函数组，试求和。

解：分析题意，我们可以直接利用公式求出和，另外从题目中的方程组可以看出，给出的的两个方程都不是具体的函数表达式，那么在这里就可以尝试用树状图来解决问题。

首先，构造出F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v），这个由题目中的两个方程很容易实现，

设

则对此方程组中的F（x，y，u，v）=u-f （ux，v+y）=0，令ω=ux，h=v+y，另外对此方程组中的G（x，y，u，v）=g （u-x，v2y）=0，令m=u-x，n=v2y，由此可看出ω，h，m，n，u，v都是中间变量，而x，y是最终自变量。

我们可以从变量f向中间变量ω，h画出两个分枝，然后再从变量ω向变量u，x画出两个分枝，变量h向v，y画出两个分枝，最后分别从变量u，v分别向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数。另外从变量g向中间变量m，n画出两个分枝，然后再从变量m向变量u，x画出两个分枝，变量n向v，y画出两个分枝，最后分别从变量u，v分别向自变量x，y画出分枝，并在每个分支旁写上对应的偏导数。就得到了树状图如下：

对F（x，y，u，v）=u-f （ux，v+y）=0和 G（x，y，u，v）=g （u-x，v2y）=0方程两端分别关于x求偏导，直接根据树状图5和树状图6，可得到

解此方程组，可得

同样的方法，我们也可以计算出和。

注：树状图在数学分析教学中引用，具有清晰，直观，形象，各变量不易重复与遗漏等优点，特别是函数结构复杂和函数关系抽象的函数，引用树状图求二元复合函数一阶偏导，高阶偏导，全微分，隐函数和隐函数组求导时可避免很多困难 。

总之，用树状图去解决数学分析中关于多元复合函数的求导问题，不仅可以使问题变得形象化，使枯燥的数学理论变得生动有趣起来;而且在课堂教学中可以激发学生的学习兴趣，充分调动了学生的学习积极性，使学生在课堂中能积极地思考问题，同时展开热烈的讨论，进而极大地提高学生的学习效率。今后在进行数学分析的课堂教学实践中，要学会把理论问题形象化，图像化，实现教与学的和谐统一。

课题项目：湛江幼儿师范专科学校教育教学改革研究与实践项目（2019ZYCQ18）.

参考文献：

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[4]James Stewart.微积分[M].北京：高等教育的出版社，2014.

[5]Adrian Banner.普林斯顿微积分读本[M].北京：人民邮电出版社，2016.