如何提高教学效率

摘 要：针对《线性代数》课程特点、学生学习现状，结合自己教学经验，从课程知识体系构建，教师授课内容和方式等方面提出自己的几点教学思考和建议，希望提高学生的学习兴趣，增强学生对抽象概念的理解，最终达到提高教学效率的目的。

关键词：构建知识体系;应用案例;课程联系;现代化教学工具

当下全国大部分高校的《线性代数》课程教学多采用理论教学模式。在现有的理论教学模式下，本科生往往很难理解课程中的一些抽象概念或定理，更不能体会这些抽象概念或定理的应用性，从而无法了解《线性代数》的重要应用价值。而《线性代数》本身是一门十分实用的数学课程，在解决等许多实际问题时，通过建立数学模型，转化为《线性代数》中的某个知识点来解决。同时，《线性代数》这门课中包含着许多重要的数学思想和方法，如归纳、递推、类比，变换、构造、化归等等，学生应该在学习这门课的过程中，提高自己解决问题的创新能力。我们就如何帮助学生提高学习兴趣，在掌握基本知识理论的前提下，达到灵活运用的目的，从而提高课堂教学效率，并提出几点教学体会。

一、构建线性代数课程知识体系

在讲授线性代数前，应让学生明白线性代数这门课的的内容体系，构建合理的知识结构图，使其了解线性代数各部分内容之间的密切联系。目前，大多数《线性代数》教材主要内容按编排顺序依次为：行列式、矩阵、向量、线性方程组，特征值与特征向量、二次型和线性空间与线性变换七部分。对于整个线性代数的内容体系来说，其基本理论核心应是线性空间与线性变换，而矩阵是我们一个重要的研究工具，我们在研究向量、线性方程组，特征值与特征向量、二次型和线性空间与线性变换时，都需要将其表现为矩阵的形式，对矩阵进行适当操作，来解决对应的线性变换问题。

个别学校由于学时有限，线性代数与线性变换部分内容已被削减。这种情况下，我们可以将求解线性方程组问题，看成线性代数的一个很重要的应用。而其他部分内容，可以看做围绕线性方程组展开。我们知道，任何一个线性系统，都可以将其总结为一个线性方程组。研究这个线性系统，实际上就是研究其对应线性方程组解的问题。如何研究一般的线性方程组的求解问题呢？我们需要借助的是矩阵的初等行变换;如何分析线性方程组解的结构呢？我们需要知道向量和极大无关组的概念;而特征向量可以看做线性方程组的特殊的解，这个解满足被方程组对应的系数矩阵作用后，得到的是与其共线的向量，共线向量对应的常数正是矩阵的特征值。而对于行列式来说，它是我们再研究上面所有内容中都会使用到的一个工具。

二、适当增加应用案例

在授课内容方面，教师在讲授各个知识点时，适当增加应用案例，便于将抽象的概念具体化、形象化。我国高校现行线性代数课程，过分注重概念、定理等抽象理论体系而疏离于生活实际的现状，那么在课堂教学中，作为教师的我们可以适当地引入和联系一些丰富、生动的应用实例。下面我们举几个例子，将《线性代数》这门课中的一些抽象概念或者定理形象化。

例如，在讲解矩阵乘法时，我们可以从密码学入手。在军事等领域，我们常常需要对所传递的信息进行加密处理，那么矩阵乘法可以作为一种加密方式。假设，我们想传递给对方的消息是over，这个单词中的每一个字母，按照英文的字母表顺序A→B→C→D→…X→Y→Z，分别对应的是数字15、22、5、18，那么我想传递出去的信息可表示为A=15 22

5 18，为了避免信号被敌方截获后识别我方意图，我们对该信息进行加密处理，我们选择矩阵B=2 1

5 2对信息进行加密，这样对方接收到的信号为：

C=2 1

5 215 22

5 18=35 62

85 146

对方收到信号C后，需要将信息转换成我方发送的真实信息，这时就需要一把密钥，密钥即为B-1=-2 1

5 -2，通过密钥B-1，立即就能得到真实信息A=B-1C。

再如，在讲授向量组的秩和极大无关组这个概念时，我们可以与三原色的概念进行类比。极大无关组指的是向量组中r个线性无关的向量，并且满足向量组中任意r+1个向量均线性相关，而极大无关组中向量的个数r就是向量组的秩。我们知道红、黄、蓝是色彩中不能在分解的三种颜色，我们称之为三原色。从三原色出发，我们可以合成所有颜色，但是如果在三原色中随机去掉一种颜色，余下的两个颜色均不能合成去掉的颜色，实际上就是一个“极大无关组”的概念。通过这个例子的引入，可以帮助学生很好的理解极大无关组这个抽象的概念。

三、加强《线性代数》與其他课程的联系

教师在讲授《线性代数》部分内容时，应该与学生已学其他课程内容有机联系起来，更加能突出《线性代数》这门课的应用价值，从而提高学生掌握知识、运用知识的能力。例如，《高等数学》课程中，判定多元函数极值时，有如下充分条件：

定理[1].若函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令A=fxx（x0，y0），B=fxy（x0，y0），C=fyy（x0，y0），

则：（1）当AC-B2>0时，具有极值，且A<0时取极大值，

A>0时取极小值。

（2）当AC-B2<0时，没有极值。

（3）当AC-B2=0时，不能确定。

在讲授《线性代数》二次型时，我们可以将二次型的正定和负定部分内容和上述定理联系起来。上述定理结论（1），实际上就是用顺序主子式法对对称矩阵A B

B C有定性的判别。

又如我们可以应用矩阵的思想讨论《概率论与数理统计》多维随机变量及其独立性的，可以应用线性方程组理论讨论《控制论》中的线性系统，等等。由于篇幅有限，作者就不一一赘述了。可见，现代化教学手段也是有效的辅助教学工具，尤其在《线性代数》内容与几何联系起来时，可为学生形象、生动地演示线性变换的过程和结果。

参考文献：

[1]高等数学（第七版）.同济大学.北京：高等教育出版社，2014.

作者简介：李想（1986-），女，辽宁阜新人，博士，讲师，非线性发展方程。