妙用弃数法求余数

黄旭军

今天的数学课上到最后，老师出了这样一道思考题：

现共有红珠子、白珠子、黑珠子2004颗，按1红、2白、2黑的顺序排列。第1176颗珠子是什么颜色？

班里的“小调皮”马上举手：“老师，这是个周期问题。每5颗珠子为一个周期，所以只要用2004除以5，再求余数，就可以知道了。”

老师说：“说得好，现在大家来比比谁做得快！”同学们一听要比速度，纷纷拿出草稿纸列起了除法竖式，才写到一半，数学课代表就举手了。“不会吧？”同学们都惊呆了。

老师示意数学课代表讲方法。课代表得意地说：“我们只要求余数，不必大动干戈列竖式！我有更好的方法，这里求1176除以5的余数，因为1175除以5没有余数，所以1176-1175=1，1就是余数！”同学们一算，果真如此！

老师带头鼓掌，边表扬边总结道：“只求余数时，可以弃掉一些能够整除的数，无论弃掉多少，都不会改变余数的大小。接下来，我们再来进一步体会一下这个“弃数法”的奇妙之处。

例1 下面图形按◇△☆的顺序排列，第691823个是什么图形？

◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆……

已知要求的是第691823个图形，三个图形构成的周期是◇△☆，只要用691823除以3，再求余数就可以了。

我们可以用列竖式的方法来解决问题。

求得余数是2，所以第691823个图形，也就是◇△☆中的第二个图形△。

用691823除以3求余数，可以弃掉3的倍数，因为一个数各个数位上的数都是3的倍数，这个数就是3的倍数。

我们先弃掉高位上的6和9

再弃掉1和8

因为一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个數就是3的倍数，所以这里1+8=9也必能被3整除。例如21与12，207与702等都是3的倍数。

再弃掉3

无论23还是32，各个数位上的数字和都是2+3=5。而去掉3之后，只剩下十位上的“2”，所以余数是2，对应的图形是△。

答：第691823个图形是△。

例2 有一个数列，小华观察后发现，每两个3之间有5、6、7、8各两个，那么数列中第9458016987个数是几？

按要求写出这个数列：

3556677883556677883556677883……

我们发现“355667788”九个数为一个周期，所以只要求9458016987÷9的余数就可以了。

这次我们弃掉9的倍数，因为各个数位上的数是9的倍数，这个数就是9的倍数。

先弃掉9

再继续按上面的方法进行

先去掉9，然后去掉4和5、8和1，最后只剩0、6、8、7，6+8+7+0=21。2+1=3，21除以9余数也是3，对应的是数列中的第三个数“5”。

答：数列中第9458016987个数是5。

729584425除以9余数是多少？（答案见下期）