电流功计算公式的严格推导

刘霁华

(常州市教育科学研究院，江苏 常州 213002)

1 电流功计算公式的传统推导

关于电流功公式的推导,常见的国内教材[1]以及国外教材[2]的推导都比较统一:某段电路左右两端的电势差为U,在电荷q从左端移到右端的过程中,静电力做的功是W=qU.因为q=It,代入得W=IUt.这个证明视乎非常简单.

2 电流功计算公式的传统推导的不足

图1

设导线中电荷定向移动的速率为v，导线横截面积为S,q=It是处于长为vt横截面积为S的圆柱体中自由电荷,即图1中虚线部分的自由电荷.这部分电荷在t时间内可进入电压为U的电场区域,即图1实线部分导体中,但这部分电荷只是受到或部分受到电压U的电场加速.图1实线部分导体中同时还有其他自由电荷被电场力做功,所以电量公式q=It中的q与公式W=qU中的q不是同一对象，推导用q=It直接代入似乎是在“套公式”,显得不够严谨.

3 电流功计算公式的分段法推导

t秒内被电压U的这段导体中电场做功的电荷为导体中本身已有的电荷以及紧邻这段导体的长为vt的一段导体中q的电荷,它们在这段导体中通过的距离和是不同的,因而电势差也不同.设该导体单位长度的自由电荷数为n、每个自由电荷的电荷量为q,电压为U的这段导体长为L,这段导体本身的电荷量为nLq.

(1) 若vt>L, 这段导体本身的电荷nLq将全部通过这段导体,沿电流方向,t秒内处于其最右端一层的电荷,电场没有对其做功,处于其最左端一层的电荷(设电荷量为q0)完全经过这段导体,所以电场做功为W=q0U,所以电压为U的这段导体的电场对本身的电荷所做的功为

(1)

图2

与其相邻的vt长的导体中,如图2只有(vt-L)的前部分的电荷全部经过的电势差为U电场做功,长为L后部分同(1),所以

(2)

这样t秒内电势差为U的这段导体的电场对通过其中的电荷所做的功为

由于I=nqv,代入得W=IUt.

图3

(3)

(4)

4 电流功计算公式的等效法推导

显然这里的分段法推导是比较复杂的,大家应该还是认为用书本上的推导方法简单,但书本上用q=It代表W=qU中的陈述又是不准确的,那么在平时教学或教材编写中应该如何处理呢?我们应该通过比较严谨的等效思想的陈述来完善推导:t秒流入导体的电量为q=It，流出这段导体的电量也为q=It,由于流入和流出的电量都为q,这样“等效”于t秒有电量为q=It的电荷“通过”了电势差为U的这段导体,代入W=qU得W=IUt.在这里的陈述中运用了等效思想,这样的q才是通过L的全部经过电压U做功的电荷,符合W=qU中q的本意.当然这里等效思想的正确性应该有基础,这个基础就是上面的分段法推导.

有些物理本真的问题,我们需对其进行深刻的思考,才能发现其内隐的真实过程,才能使得其研究过程符合物理本质,从而使学生的物理学科核心素养培养建立在科学过程的基础上.