“鸡兔同笼”问题蕴含的数学思想和解决策略

徐庆 深圳市龙华区清湖小学

“鸡兔同笼”问题的题意是：鸡和兔关在一个笼子里，数它们的头一共有35个，数腿一共有94只，请问鸡和兔各有几只？

一、“鸡兔同笼”问题蕴含的数学思想

解决“鸡兔同笼”这个问题的方法与数学思想有一定的对应关系。假设的思想和假设法，方程的思想和方程法，枚举的思想和列表法，数形结合的思想和画图法，通过学习鸡兔同笼问题，解决鸡兔同笼的类问题，渗透的是建模思想等。

“鸡兔同笼”作为一类有趣又重要的数学问题的代表，出现在各种教科书中，也出现在不同年级的教材中。北师大版小学数学教材，将此内容安排在第九册课本数学好玩部分。

解决“鸡兔同笼”问题时，第九册教材展示了学生通过尝试与猜测，运用列表法逐步解决问题的过程，假设法和方程法也是五年级学生解决该类问题的一般方法，多种解决方法背后蕴含数学思想，基于方法与思想的解决问题策略，应结合学生的可接受水平起来考虑。

二、“鸡兔同笼”问题可能的解决策略

1、用假设法列算式，假设笼子里所有的都是鸡，则腿有70条。实际上腿有94条，少了24条腿，就要将部分鸡换成兔子，每将一只鸡换成兔子，腿就多2条。所以共需换掉12只鸡，即笼子里兔子有12只，则鸡有23只。

2、列一元一次方程，设笼子里鸡有x只，那么兔就有（35-x）只。列方程2x+4×(35-x)=94，解方程得x=23，也就是鸡有23只，则兔有12只。

3、列二元一次方程组，设笼子里鸡有x只，兔有y只，则x+y=35，2x+4y=94，解方程组得x=23，y=12，也就是鸡有23只，兔有12只。

4、取中列表法，鸡的数量从中间开始猜，假设有17只鸡18只兔，则有腿2×17+4×18=106条，多了12条腿，则减少6只兔增加6只鸡，所以鸡有23只兔有12只。

5、跳跃列表法，从1只鸡开始，跳着猜。若10只鸡，25只兔，则有120条腿，得减少兔的数量；若20只鸡，15只兔，则有100条腿，多6条腿，减少3只兔；即有23只鸡，12只兔。

6、逐一列表法，从1只鸡开始，一只只尝试猜下去，借助列表记录数据，得出12只兔，23只鸡，一共有94条腿。

7、画图法，用小棒代替腿画图，根据腿的总数94只，调整数量，画图得出12只兔，23只鸡。

……

三、“鸡兔同笼”问题的教育价值

结合教学实录的教学过程中的重难点突破：

1、动画激趣，铺垫问题。“一个笼子里有鸡和兔共9只，鸡和兔各可能有几只？”

在这一环节：①数据不大，学生容易聚焦列表法，特别是逐一列表法，顺势引导学生有序思考、有序记录，为后面的学习作铺垫；②学生可能会写出“0、9”的情况，因为鸡兔同笼，“0、9”这种情况在这道题里面不考虑，但是极端思想这种常用的数学思想可以渗透；③动画中关于“鸡兔同笼”的数学史，对学生进行数学文化的熏陶和感染，激发学生探究的热情；④此环节引导学生用数学的方法记录数学思考的过程。

2、独立尝试，提出问题。“一个笼子里有鸡和兔共9只，它们的腿一共有26只，鸡和兔各有几只？”

在这一环节，数据不大，根据上面的铺垫，采用逐一列表法的学生较多，假设算术策略、方程策略、画图策略等也有。列表这种解决问题的策略，让学生获得初步的成功体验，感知有序记录是有用的。在这一环节要让所有的学生根据自身的可接受水平，至少能使用一种可接受的解题策略，落实数学问题中的“教育价值”。

3、再次尝试，解决问题。解决鸡兔同笼原题“一个笼子里有鸡和兔共35只，它们的腿一共有94只，鸡和兔各有几只？”

在这一环节，学生有了前面的尝试，因为原题数据较大，一一列举的方式会变成跳跃式尝试和取中尝试，假设思想、数形结合思想、方程思想在这一环节也有体现。更进一步引导学生用数学的方法记录思考的过程，再次尝试”体现了对“初次尝试”的提升。

4、小结提升，延展问题。小结是从解决问题的过程到结果的累积，鼓励孩子们总结“鸡兔同笼”这个古代趣题和类问题的联系，渗透建模的思想。

五年级的学生，方程法远比画图、列表之类的方法要快捷、简便，这是鸡兔同笼问题的数学价值；对于约50人的班级，结合学生的可接受水平不一样，定位于不同的解题方法，是鸡兔同笼这个数学问题的教育价值。正如渗透数形结合思想的画图法，低年级学生会首先选用，也适用于原有经验积累还不够的高年级学困生。

“鸡兔同笼”问题解决方法的多样化，蕴含数学思想的多元化，根据学生的可接受水平，定位于不同的解题策略，也就是数学问题的教育价值。