具非局部源半线性抛物方程变号解爆破时间的下界估计

孙爱慧,陈 鹏,李 岩,包开花

(1.吉林师范大学 数学学院,吉林 四平 136000；2.内蒙古民族大学 数学学院,内蒙古 通辽 028000)

考虑如下具非局部源的半线性抛物方程:

(1)

其中:Ω是n(n≥3)中具光滑边界的区域;表示边界∂Ω的外法向导数;p>1.初值且

(2)

自然界中的很多物理、化学和生物种群动力学现象,都可以用发展方程刻画.近年来,关于发展方程解爆破时间的下界估计已引起人们广泛关注[1-3].文献[4]研究了问题(1)解的存在唯一性；文献[5]讨论了问题(1)解的爆破条件；文献[6]研究了具齐次Dirichlct边界条件的半线性热方程解爆破时间的下界估计；文献[7-8]利用一阶微分不等式研究了具变指数源半线性抛物方程解的爆破时间下界.上述结果考虑的爆破解都是正解.受上述研究结果启发,本文考虑方程(1)变号解爆破时间的下界估计.

假设方程(1)的解在有限时刻T*爆破,下面利用一阶微分不等式并结合Sobolev嵌入不等式给出爆破时间T*的下界估计.

定理1设u(x,t)是方程(1)的解,φ(t)在T*时刻爆破,其中

(3)

常数k>max{(2n-4)(p-1),1},则φ(t)满足下列一阶微分不等式：

证明: 对式(3)两端分别关于t求导,并利用方程(1)和分部积分公式,有

即

对式(5)应用Hölder不等式,有

(8)

结合式(3),(7),(8),有

(9)

对式(9)应用ε-Young不等式,有

(10)

结合式(6),(10),有

(12)

对式(12)两端同时关于时间t积分,有