SVAR-GARCH模型的多元波动率估计

谢鹏飞,冶继民,王俊元

(西安电子科技大学 数学与统计学院,西安 710126)

金融资产收益率序列的波动性和相关性通常具有明显的时变特征,因此,研究其动态规律对于期权定价、风险管理等具有重要作用.在实际投资决策中,需要考虑多个资产收益率,因此,建立多维资产收益率的协方差矩阵或多元波动率的动态模型尤为重要.

Engle[1]提出的一元自回归条件异方差(ARCH)模型,虽然可以很好地刻画单变量波动性,但该方法受维数的限制,不适用于估计多维资产收益率的波动性;Engle等[2]提出的BEKK模型虽然可以很好地描述多变量的波动性,并能保证协方差矩阵的正定性,但存在模式识别问题;Dua等[3]通过向量自回归多元GARCH-BEKK模型研究了印度和美国股市的相关性;Baillie等[4]提出的常值条件相关模型,即CCC-GARCH模型,假设相关矩阵是常数矩阵,虽然简化了模型的计算,且能保证协方差矩阵的正定性,但在实际应用中该假设显然不能满足[5];Engle[6]在考虑条件方差间的相互作用情况下,提出了动态条件相关模型,即DCC-GARCH模型,该模型在保证相关系数矩阵为正定矩阵的前提下,要求所有条件相关系数服从相同分布的动态规律,这与实际时间序列波动不吻合;Tsukuda等[7]使用DCC-GARCH模型和动态条件方差分解方法分析了东亚债券市场与全球债券市场的融合程度;Chen等[8]把主成分分析(PCA)应用到多元GARCH模型中,提出了正交GARCH模型,即O-GARCH模型,该模型采用PCA技术从多个序列的波动特性中提取出主成分,每个主成分的条件方差可用一维GARCH模型表示,构建条件协方差阵,有效降低了多元GARCH模型所需估计的参数,并提高了GARCH模型的实用性,但主成分之间无条件不相关并不表示条件不相关[9];Wu等[10]利用独立成分分析(ICA)将多元时间序列分解为统计独立的时间序列,然后用ICA-GARCH模型估计多元波动率,该方法对多元收益率波动率估计方面比用PCA方法分解残差更有效;Broda等[11]采用ICA技术从多维金融资产收益率中提取出相互独立的成分,再对独立成分建立单变量GARCH模型.García-Ferrer等[12]提出了GICA-GARCH模型,通过实证分析马德里证券市场,说明GICA-GARCH模型的预测性能比O-GARCH和CUC-GARCH模型对波动率的拟合效果更好;Jin等[13]提出了使用多元随机模型对多元GARCH模型中的动态非均匀协方差分解进行建模;Francq等[14]提出了多元Log-GARCH-X模型;Karanasos等[15]使用向量AR-DCC-FIAPAPARCH模型研究股票市场日收益的长期波动相关性和非对称波动响应的关系;Almeida等[16]分析了MGARCH模型的可行性和灵活性;Kadowaki等[17]提出了一种线性非高斯无环模型,即LiNGAM模型,是结构方程模型和Bayes网络的变形,其在不依赖于先验信息的情况下可识别模型的因果结构；Moneta等[18]将基于ICA的因果推断用于研究企业发展与企业绩效的关系,分析货币政策对宏观经济的影响,取得了很好的效果.Lütkepohl等[19]通过使用结构向量自回归(SVAR)模型识别残差的结构冲击,其中波动的变化使用多元GARCH模型模拟,该模型假设随机冲击对变量的影响期限不同,从而对结构系数矩阵施加约束条件;Ahmadi等[20]采用SVAR-GARCH模型描述了原油和股票市场的波动性,为了从简化形式的残差中识别模型的结构,假设某一随机冲击在短期内不会给某些特定的经济变量带来影响,并对结构系数矩阵施加了约束条件;Sotoudeh等[21]使用SVAR-GARCH模型研究了商品贸易对全球石油市场结构性冲击的动态响应,该模型假设结构系数矩阵是满秩的.上述这些方法都是直接估计多变量GARCH的参数,因此随着时间序列维数的增加,需要估计大量的参数.

本文提出一种估计SVAR-GARCH模型波动率的新方法,其有以下优势：

1) 仅需假设瞬时因果矩阵B0是有向无环图,通过ICA方法可以识别模型的因果结构,并将残差分解为统计独立的误差项;2) 在保持SVAR因果结构的同时,建立了残差项条件协方差阵与误差项条件协方差阵的关系,进而可得到基于SVAR残差项条件协方差的多变量GARCH波动效应的估计方法;3) 利用单变量GARCH的估计结果和识别的因果结构可估计多变量GARCH条件波动的脉冲响应.从而有效减少多元GARCH模型所需估计的参数.

1 SVAR-GARCH模型的多元波动率

1.1 SVAR-GARCH模型

文献[22]提出用结构向量自回归(SVAR)估计时间序列数据的因果结构,基于GARCH模型中e(t)可以很好地描述金融数据的波动率,因此,取SVAR模型中误差项e(t)为GARCH过程,即SVAR-GARCH模型.设x(t)=(x1(t),…,xn(t))T(t=1,2,…,T)表示在一段时间内观察到的向量,不失一般性,假设每个x(t)均具有零均值向量,则SVAR-GARCH模型为

(1)

式中：Bτ(τ=0,1,…,l)是n×n矩阵,表示变量x(t)与x(t-τ)(τ=0,1,…,l)之间的因果关系,τ>0表示过去到现在的一般滞后效应,τ=0表示瞬时效应;e(t)表示误差项n×1向量.

SVAR-GARCH模型中e(t)和B0满足以下两个条件：

1)ei(t)是e(t)的第i个元素,假设ei(t)(i=1,2,…,n;t=1,2,…,T)是相互独立的GARCH过程,即每个ei(t)作为单变量GARCH(p,q)处理：

(2)

2) 模型中的瞬时因果矩阵B0对应有向无环图,无环即存在一个置换矩阵P,使得PB0PT是严格下三角矩阵,从而I-B0是可逆的.

在模型识别和估计中上述两个假设至关重要,由式(1)可得

(3)

记

A=(I-B0)-1,n(t)=Ae(t),Mi=ABi,

(4)

则式(3)可等价表示为

(5)

式(5)是一个标准的风险价值(VaR)模型,从而可以用最小二乘法估计Mτ和n(t).

如果能在式(3)中识别e(t)和矩阵B0,即可推断模型的因果顺序和滞后效应.根据Hoyer等[23]的结论,GARCH模型中e(t)的非高斯性和无环性假设保证了e(t)和B0可以被唯一地识别,且(I-B0)是可逆的.下面用B0估计e(t)中的波动结构.

设Ht是n(t)的协方差矩阵,则有

Ht=cov(n(t)|It-1)=Acov(e(t)|It-1)AT=AVtAT,

(6)

式中Vt=diag(h1t,…,hnt),hit是式(1)给出e(t)的第i个分量的条件方差.设P是将B0置换为下三角矩阵的矩阵,则有

PAPT=(P(I-B0)PT)-1=(I-PB0PT)-1,

易得PAPT是下三角的,A也是无环的.因此,式(6)中矩阵A蕴含着Ht中波动的因果顺序.由式(2)知e(t)的协方差阵Vt结构为

式中：Kj和Lk都是n×n维的参数矩阵;C是n×n的对称参数矩阵;p和q是模型的阶.因此N(t)的协方差矩阵Ht结构为

1.2 条件波动的脉冲响应

由式(6)可知,可通过分析e(t)中单个冲击对系统的响应推断Ht的波动率.条件波动的脉冲响应可以刻画单个冲击对系统的波动响应,定义为

式中：Rs,i表示在e(t)中第i个元素在1个单位冲击后的s阶滞后波动响应;Ht+s/t表示在t时刻Ht+s的条件协方差信息集.由式(7)可知,残差项N(t)条件协方差矩阵的条件脉冲响应为

(8)

式中1i-th是一个对角线上第i个元素为1其余元素都为0的n×n矩阵.

根据文献[24],单变量GARCH(p,q)模型的条件方差可以写成如下形式:

(9)

式中:m=max{p,q},vi,t是鞅差序列;如果j>q,则αij=0;如果j>p,则βij=0.因此,可以定义条件波动的脉冲响应迭代形式为

(10)

对式(10)两边取ei(t)2的导数,得到单变量脉冲响应函数如下：

(11)

1.3 GARCH模型参数估计

用伪极大似然估计法对GARCH模型进行参数估计.假设B0是严格的下三角矩阵,并且W=I-B0,参数θl的向量形式为

θl=(θl1,…,θl,p+q+1)T=(ωl,αl1,…,αlq,βl1,…,βlp)T,

对数似然可由下式给出：

(12)

式中:ei(t)是独立成分e(t)的第i个元素;wi(t)是矩阵W的第i个行向量.W是下三角矩阵并且对角线元素为1,因此有

式中pi表示独立成分的密度函数.

利用高斯伪似然极大化对数似然等式,得对数似然函数形式为

θ的伪极大似然估计定义为

2 模型求解与条件波动脉冲响应估计

求解SVAR-GARCH模型时,可以先使用信息准则(如Akaike信息准则(AIC)或Bayes信息准则(BIC))优化所有可能的子集l,p和q,然后估计其滞后阶数l,p和q.本文假设SVAR-GARCH模型已给出滞后阶数,然后通过一种有效的多阶段估计方法对模型其他参数进行估计.

首先,使用独立成分分析方法将SVAR的残差分解为统计独立的成分;其次,用线性非高斯无环模型(LiNGAM)估计因果矩阵B0;最后,使用单变量GARCH的估计结果和识别的因果结构估计多变量时间序列的条件波动脉冲响应.

2.1 独立成分分析

独立成分分析(ICA)[25]是一种统计方法,其假设观测数据为潜在变量的线性组合,潜在变量相互独立并且是非高斯的.典型的ICA模型为

xt=Ast,

(13)

式中：s=(s1,…,sn)是统计独立潜变量的向量,称为独立分量;A是未知常数的混合矩阵.ICA模型中的独立分量st通过寻找矩阵W得到:

st=Wxt.

(14)

寻找一个单位向量的迭代不动点算法为

(15)

(16)

2.2 无环因果结构的识别

无环因果结构的识别是利用ICA技术通过n(t)=Ae(t)找到适当的矩阵A.由于SVAR-GARCH模型满足：1) GARCH(p,q)过程具有尖峰厚尾特征[27];2)e(t)是非高斯并且相互独立的.因此,可以使用ICA技术去估计矩阵A=(I-B0)-1.为了避免ICA置换、标识和尺度的不确定性,假设变量x(t)间存在无环因果结构,即在使用ICA估计A后,用A的每行除以其对角元素并将其缩小到单位对角线,由此得到B0=I-A-1的主对角线元素都为0,并且存在一个置换矩阵P,使得PB0PT是对角线为零的下三角矩阵,从而保证模型无环因果结构的识别.对B0和e(t)的估计,可以使用ICA-LiNGAM算法[22]实现.

ICA-LiNGAM算法步骤如下：

1) 使用FastICA算法得到分解n(t)=Ae(t),其中A和e(t)分别是n×n和n×T矩阵;

5) 瞬时因果B0包含n(n-1)/2个非零元素,其中一些可能非常小;

6) 计算滞后因果矩阵Bτ的估计为Bτ=(I-B0)Mτ(τ>0).

图1 ICA-LiNGAM算法估计B0的正确率Fig.1 Accuracy of B0 estimated by ICA-LiNGAM algorithm

数据集的变量个数p和样本容量N分别取p=10,20,30,N=500,1 000,1 500,2 000,人工生成随机数据集,对ICA-LiNGAM算法估计瞬时因果矩阵B0的正确率进行测试,结果如图1所示.由图1可见,随着样本容量的增加,ICA-LiNGAM算法估计的瞬时效应B0正确率越来越高.

2.3 多阶段估计

多阶段估计步骤如下：

1) 用最小二乘法估计式(5)的自回归矩阵Mτ,并从式(5)中计算出残差n(t);

2) 用ICA-LiNGAM算法估计因果矩阵B0和独立成分e(t);

3) 用伪极大似然估计单变量GARCH参数;

4) 用式(11)对e(t)中的每个元素估计单变量脉冲响应函数;

5) 用单变量脉冲响应函数和矩阵A和式(8)估计多变量条件波动的脉冲响应.

3 应 用

下面用一种估计SVAR-GARCH模型波动率的新方法来估计能源期货市场的波动率.所选指标分别为西德克萨斯中级原油(WTI)、布伦特原油(SC)、轻低硫原油(CL)和天然气(NG).所用数据为美国纽约商品交易所(NYMEX)市场WTI,SC,CL和NG能源期货收盘价格的历史数据.数据集为2014-01-01—2016-12-31期间,由雅虎财经数据库(https://finance.yahoo.com/)获得的753 d每日观察数据.每日收益xi(t)由xi(t)=log(Pi(t))-log(Pi(t-1))计算,式中Pi(t)是指标i在交易日t时刻的收盘价格.SVAR(1,1)-GARCH(1,1)模型为

x(t)=B0x(t)+B1x(t-1)+e(t)=M1x(t-1)+n(t),

(17)

M1=(I-B0)-1B1,n(t)=(I-B0)-1e(t),

(18)

hi(t)=ωi+αi1ei(t-1)2+βi1hi(t-1),

(19)

式中ei(t)是e(t)的元素.

将SVAR(1,1)-GARCH(1,1)模型拟合到数据中,发现B0可以置换成一个严格的下三角矩阵,即瞬时效应遵循线性无环因果模型.表1列出了估计的波动方向.

表1 无环矩阵B0

由表1可见: 当考虑瞬时效应时,WTI对CL和SL都有很强的正面影响,但对NG有负面影响；CL对SL和NG都有很强的正面影响；SC仅对NG有较弱的负面影响；NG对所有其他变量无影响.结果与能源期货市场上的规律相符.

使用FastICA分离n(t),得到估计矩阵A并提取出e(t)如图2所示.将GARCH(1,1)拟合到每个ei(t),由表2所列GARCH参数估计.结果表明,WTI和NG倾向于集群波动.

图2 独立序列e(t)Fig.2 Independent series e(t)

模型e1(t)(WTI)e2(t)(SC)e3(t)(CL)e4(t)(NG)ωi0.000 102 360.108 6450.133 740.000 168 04ARCH(αi1)0.084 559 220.077 8540.307 400.028 385 97GARCH(βi1)0.897 626 520.239 8380.414 460.964 449 66

使用条件波动的脉冲响应描述e(t)的波动结构,结果如图3所示,其中：虚线表示95%的置信区间;实线表示脉冲响应.由图3可见: 在独立的ei(t)中1个单位冲击将被放大到WTI,SC,CL,NG,波动确实转移;WTI的波动对其他变量影响最大,同时,WTI的单位冲击对SC和NG具有较长的持续效应,而对CL的影响较弱;SC的单位冲击对WTI产生正方向的影响,持续时间较长,而对CL和NG产生负向的影响,持续时间较短;CL的单位冲击对WTI产生负方向的影响,且持续时间较长,对SC产生一个正方向的影响,对NG的冲击幅度较小；NG的单位冲击对其他指标影响都较小.

综上,本文研究了SVAR-GARCH模型的多元波动率,提出了一种估计SVAR-GARCH模型波动率的新方法.结果表明：该方法可以有效地减少多元GARCH模型所需估计的参数,同时也保持了动态GARCH模型的可追踪性；在数据驱动下,该方法具有识别数据因果结构的优势,并且在考虑因果效应时,可以使用单变量GARCH模型估计多变量GARCH模型的波动结构.在实例应用中,分析了WTI,SC,CL,NG之间的因果效应和波动结构,表明WTI对SC,CL,NG有显著影响,而NG对其他变量几乎无影响.在条件波动的脉冲响应函数中,发现波动确实转移,并且WTI的冲击对其他变量影响最大,且持续时间较长,这与WTI原油作为其他原油的定价基准以及在国际上有较强的影响力相吻合.实验结果表明,本文方法估计的波动率与能源期货市场的规律相符.

图3 条件波动的脉冲响应Fig.3 Impulse response of conditional volatility