多天线物理层网络编码的中断概率分析

王长龙， 袁全盛， 胡永江， 李永科

(陆军工程大学石家庄校区无人机工程系， 河北 石家庄 050003)

物理层网络编码(Physical-layer Network Coding,PNC)[1]将叠加和信号映射为伽罗华域(GF(2))的数据比特流，有效利用了中继处的干扰，极大地提高了通信系统的吞吐量。多天线物理层网络编码将MIMO(Multiple-Input Multiple-Output)和PNC结合，在不增加系统带宽的前提下大幅提高信道容量，同时增强系统在多径衰落环境中的鲁棒性，这是近期无线通信研究的一个热点。UNNIKRISHNAN等[2]研究了多天线物理层网络编码中基于坐标交织正交设计(Coordinate Interleaved Orthogonal Design,CIOD)的空时分组码(Space Time Block Code,STBC)方案，分析了所提方案的误符号率(Symbol Error Probability,SEP)和复杂度。LEE等[3]也对空时编码的多天线物理层网络编码进行了研究，与文献[2]不同的是，其将双用户场景拓展为多用户场景，通过边信息学习机制对网络中的用户节点进行调度，提高了网络的自由度(Degree of Freedom,DoF)。考虑双用户多中继场景下的多天线物理层网络编码，CHEN等[4]假设系统信道状态信息(Channel State Information,CSI)过时，研究了最优单中继选择方案以及多中继协作选择方案，分析了系统的误码性能。考虑发送端未知CSI的双向中继信道(Two Way Relay Channel,TWRC)模型，GUO等[5]研究了基于中继节点处生成矩阵设计的线性向量多天线物理层网络编码，推导了平均错误概率的闭合表达式。

在衰落环境下的无线通信系统中，中断概率是衡量系统性能的一个重要指标，为此，许多学者对不同无线通信系统的中断性能进行了研究。JORSWIECK等[6]在发送端未知CSI的条件下详细研究了点对点MIMO系统的中断性能，对系统中的功率分配方案进行了优化设计。由于TWRC模型是中继通信的基本模型，因此文献[7-8]作者研究了不同条件下TWRC模型中的中断性能。李世堂等[9]研究了衰落信道中网络编码系统的中断系统，但没有给出中断概率的闭合表达式。PHAN等[10]假设发送端以及接收端可获得理想CSI，研究了干扰受限环境下的多天线物理层网络编码，给出了系统中断概率的闭合表达式，但是全局CSI可知的假设需要反馈信道，会造成系统资源的严重损耗。值得注意的是，文献[9-10]得到的中断概率闭合表达式只能计算某一种衰落信道环境下系统的中断性能，因此需要进一步求取适用于不同衰落环境下的中断概率闭合表达式。

考虑到实现复杂度的问题，目前针对中继通信系统中断性能的研究采用的中继转发策略多为放大转发(Amplify-and-Forward,AF)模式[10-12]。与AF模式相比，译码转发(Decode-and-Forward,DF)模式虽然复杂度较高，但具有较好的可靠性，对DF模式下的系统中断性能进行研究具有重要意义。为此，笔者考虑一种DF模式下中继波束成形的多天线物理层网络编码系统，假设发送端未知CSI且接收端可知理想CSI，通过反演定理推导出系统中各个节点的中断概率闭合表达式，根据相应衰落环境下的信道矩阵特征值分布特性即可求出系统中断概率。

1 系统模型

考虑网络拓扑结构为不含直传链路的TWRC模型，如图1所示。图中:节点A和B为端节点，节点R为中继节点，节点A和B之间由于距离过远或者存在障碍物无法直接通信，需要在节点R的协助下实现信息交互。系统中所有节点均为多天线配置，节点A与B的天线数目均为N，节点R的天线数目为M。假设系统中所有节点均工作在半双工模式下，即所有节点均不能同时发送和接收信息，系统处于衰落环境下，中继转发策略为DF模式。

图1 系统传输模型

信息传输过程分为2个阶段：1)上行阶段，节点A与B分别将各自的信息流发送至节点R，形成叠加和信息；2)下行阶段，节点R对叠加和信息进行波束成形处理，形成网络编码信息，广播到节点A与B，节点A(B)通过串行干扰消除方法获得节点B(A)的信息。

基于贴近实际以及复杂度的考虑，假设接收端可知理想CSI，发送端未知全局CSI，即节点之间不存在反馈信道(反馈信道将造成较大资源损耗)，且系统参数以及信息均为复值向量。节点R接收到的叠加和信息可表示为

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：GA与GB均为N×N的矩阵。

由式(2)-(4)可得

(5)

在下行阶段，节点R将波束成形矩阵信息置于网络编码信息前缀，形成广播信息发送给节点A以及节点B。节点A可通过下式得到节点B的信息：

。

(6)

节点B的操作与此类似。

2 系统中断性能

定理1：图1中，节点R处的中断概率可表示为

(7)

证明：在上行阶段，节点A到节点R链路或者节点B到节点R链路任一链路出现中断，则节点R将无法实现叠加和信息的可靠接收，因此，可将节点R处的中断概率表示为

(8)

式中：CAR为节点A到节点R链路的信道容量；CBR为节点B到节点R链路的信道容量;Rth为设定的传输速率阈值；1/2是因为系统信息传输时隙数为2。

将节点A到节点R之间的信道看作点对点信道，则CAR可以表示为

(9)

式中：IM为M×M的单位矩阵。

(10)

(11)

其中rA为矩阵HA的秩。不失一般性，可得CBR为

(12)

由式(8)、(11)、(12)可得

1-Pr[(CAR>2Rth)(CBR>2Rth)]=

1-(1-Fz1(q))(1-Fz2(q))，

(13)

式中：Fz1(q)、Fz2(q)为累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)，q=22Rth，且

(14)

(15)

不失一般性，可得到

(16)

将式(15)、(16)代入式(13)，可得式(7)表达式。

得证。

定理2：图1中，节点A处的中断概率可表示为

(17)

节点B处的中断概率可表示为

(18)

证明：对于节点A，若上行阶段节点R中断或者下行阶段节点R到节点A的链路中断，则节点A无法可靠获取节点B的信息，即节点A出现中断，则节点A处的中断概率可表示为

(19)

(20)

其中CRA为节点R到节点A链路的信道容量，可表示为

(21)

IN为N×N的单位矩阵。

(22)

式(21)可转化为

(23)

式中：rRA为矩阵HRA的秩。

将式(23)代入式(20)，与定理1的推导类似，可得

(24)

将式(7)、(24)代入式(19),可得式(17)表达式，同理可得式(18)表达式。

得证。

3 数值分析

笔者利用蒙特卡罗仿真对系统中断性能进行分析，并与理论推导进行比较，验证所给出的中断概率表达式的准确性。针对以下场景进行仿真分析：在Rayleigh衰落环境下，不同天线数目的系统中各个节点处的中断概率以及理论推导值；在所有节点天线数目均为2的系统中，不同莱斯因子的Ricean衰落环境下节点R处的中断概率。在蒙特卡罗仿真中，所取样本点个数为106。

在Rayleigh衰落环境以及Ricean衰落环境下，信道矩阵中的所有元素均为服从复Gaussian分布的随机变量，其中Rayleigh衰落中随机矩阵HHH为中心复Wishart矩阵，Ricean衰落环境中随机矩阵HHH为非中心复Wishart矩阵。此处应用定理1及定理2需要用到以下结论，即Wishart矩阵A的不排序特征值的联合PDF为[14]

xi>0,i=1,2,…,m。

(25)

图2 Rayleigh衰落环境下节点R处的中断概率

图2给出了Rayleigh衰落环境下节点R处的中断概率曲线，且EA/σ2=EB/σ2=20 dB。图中：“S”代表蒙特卡罗仿真值；“A”代表理论推导值。

从图2可以看出：1)蒙特卡罗仿真结果与理论推导结果高度相符，验证了定理1的准确性；2)随着天线数目的增加，系统的中断性能得到了改善；3)在2种MISO情形中，中继节点多天线MISO比端节点多天线MISO系统中断性能更好。

图3给出了Rayleigh衰落环境下节点A处2种场景的中断概率曲线。从图3可以看出：1)蒙特卡罗仿真结果与理论推导结果相符，验证了定理2的准确性；2)提高中继节点的发射功率，大幅降低端节点(即用户)的发射功率，可使用户获得更好的中断性能；3)从用户的角度考虑，中继节点多天线MISO与端节点多天线MISO相比，系统中断性能相差不大。

图4为Ricean衰落环境下节点R及节点A处的中断概率曲线，莱斯因子K=10 dB，可以看出：1)Ricean衰落环境下蒙特卡罗仿真结果与理论推导相符，证明了定理1以及定理2在不同衰落环境下的适用性；2)莱斯因子K=10 dB时，因为存在视距路径，系统的中断性能相比Rayleigh衰落环境下大大提高。

图3 Rayleigh衰落环境下节点A处的中断概率

图4 Ricean衰落环境下系统中断概率

此外，由图2-4可知：随着天线数目的增加，系统中断性能得到极大提高。

4 结论

在TWRC模型中，笔者假设发射端未知CSI，研究了中继波束成形的多天线物理层网络编码，通过反演定理以及随机矩阵特征值分布特性等数学理论推导出各个节点处的中断概率闭合表达式，通过仿真验证分析了系统的中断性能。仿真结果表明：1)在Rayleigh衰落以及Ricean衰落环境下，仿真结果与理论推导相符，证明了所给定理在不同衰落环境下的适用性；2)随着天线数目的增加，系统中断性能得到极大提高；3)考虑用户的中断性能，在中继节点加大发射功率，用户节点可以大幅降低发射功率。