极坐标和参数方程的突破方法

■河南省西华县一高数学组 李五银 李松林

高考对极坐标和参数方程的考查主要有：(1)极坐标方程与普通方程的互化；(2)参数方程与普通方程的互化；(3)直线(普通方程或参数方程)与圆、椭圆或抛物线的位置关系问题。对于直线参数方程的应用，已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(为参数)。t

(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则

(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3=

(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1+t2=0，t1t2＜0。

注意：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值。否则参数不具备该几何含义。

一、根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，以及韦达定理t1+t2=—得到弦长为|t—t|来解决12

例1 在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2ac o sθ(a＞0)，过点P(—2，—4)的 直 线l的 参 数 方 程 为(t为参数)，l与C分别交于点M，N。

(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值。

解析：(1)曲线C的直角坐标方程为y2=2a x(a＞0)；直线l的普通方程为x—y—2=0。

(2)将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，可得t2—2(4+a)t+8(4+a)=0。 ①

由题意知Δ=8a(4+a)＞0，又a＞0，所以4+a＞0。

设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1，t2恰为方程①的根。易知|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1—t2|，由题设得(t1—t2)2=|t1t2|，即(t1+t2)2—4t1t2=|t1t2|。

又由①得t1+t2=2(4+a)，t1t2=8(4+a)＞0，则有(4+a)2—5(4+a)=0，解得a=1或a=—4。因为a＞0，所以a=1。

方法总结：(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等。(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2。则：①弦长l=|t1—t2|；②弦M1M2的中点⇒t1+t2=0；③|M0M1|·|M0M2|=|t1t2|。

二、弦的中点问题

例2 在平面直角坐标系x O y中，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)。以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρc o s2θ—4 sinθ=0。

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点P(1，0)，若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段A B的中点为Q，求|P Q|的值。

解析：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，所以直线l的普通方程为y=t a nα·(x—1)。由ρc o s2θ—4 sinθ=0得ρ2c o s2θ—4ρsinθ=0，即x2—4y=0。所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y。

(2)因为点M的极坐标为，所以点M的直角坐标为(0，1)，所以t a nα=—1，直线l的倾斜角，所以直线l的参数方程为(t为参数)。代入x2=4y，得

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2。因为Q为线段A B的中点，所以点Q对应的参数值为又点P(1，0)，则

方法总结：已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则 直 线l的 参 数 方 程 为(为参数)。 线段t①M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则②若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1+t2=0，t1t2＜0。