从“微积分”的创立之争看“数学江湖”

■河南省许昌高级中学 许昌市高中数学名师工作室 胡银伟

数学巨擘陈省身大师曾说“数学好玩”,但数学的“江湖”可不仅仅是“好玩”,今天我们就来介绍数学界的一个“趣事”——有关“微积分”创立之争的“恩怨”。

首先介绍的是大名鼎鼎的科学巨匠——站在了巨人肩膀上的牛顿,他著名的经典力学三定律深刻影响着、改变着我们今天的世界；再介绍另一位大咖,德国著名数学家——莱布尼茨,一位在哲学、逻辑学、伦理学、历史学等领域都颇有建树的历史上少见的通才。

17世纪,有许多科学上的问题亟待解决,归结起来主要有四种：一是研究运动时即时速度的问题；二是求曲线的切线问题；三是求函数的最大值、最小值问题；四是求曲线长、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积。同时代的许多著名的数学家、天文学家、物理学家,如法国的费尔玛、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格,英国的巴罗、瓦里士,德国的开普勒,意大利的卡瓦列里等人都为解决上述几类问题进行了大量的研究工作,都提出许多很有建树的理论,通过对这些问题的研究也逐渐促成了微积分的产生。17世纪下半叶,在前人工作的基础上,牛顿和莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。

1666 年,牛顿率先发现了微积分概念——流数术,但是牛顿并未将发现成果公布出来,只是记在自己的笔记本中。1671年,牛顿写了《流数法和无穷级数》一书,但此书直到1736年才出版。在这本书里,牛顿提出了流数概念,在流数术中的中心问题是：已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度,求给定时间内经过的路程(积分法)。

1684年10 月,在英吉利海峡另一侧的欧洲大陆的德国,莱布尼茨在《教师学报》上发表了现在世界上认为是最早的微积分文章,在这一篇具有划时代意义的文章中,莱布尼茨定义了微分概念,且采用了微分的符号dx,dy。1686年,莱布尼茨再次发表积分论文,讨论了微分与积分,使用了积分符号∫。从莱布尼茨的笔记本发现,1675 年11 月11日他便已完成一套完整的微积分学。

微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分可迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。因此,牛顿(英国)和莱布尼茨(德国)两个人所在的国家,都想各自“霸占”微积分的“创立权”,以便让自己的国家和数学家能够名垂数学史。

1699年初,有英国皇家学会成员率先指控莱布尼茨,认为他的微积分思想来自牛顿,只不过是换了牛顿的研究成果的几个符号而已,微积分真正的发明者应该是牛顿,随后英国科学界与欧洲大陆科学界爆发了激烈的争论,争论在1711年全面爆发。1713年初,英国皇家学会发布了一份调查报告(报告由牛顿本人撰写),单方面宣布“牛顿为微积分发明第一人”,而斥莱布尼茨为骗子。1713年,莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文,总结了自己创立微积分学的思路,说明了自己成就的独立性。

这场争论导致此后的100 年中,在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟,双方的科学家,老死不相往来,从而造成了欧洲大陆和英国的数学家长期对立。囿于民族偏见,英国数学在一个时期里闭关锁国,并最终让英国的数学发展整整落后了至少一个世纪,直到1820年,双方的关系才有所缓和。

由微积分的创立过程来看,牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨,但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿；莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程,而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿研究的微积分更多地结合了运动学,造诣高于莱布尼茨；而莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的,运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则,其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动,运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此,他发明了一套适用的符号,如引入dx 表示x 的微分,∫表示积分,dnx 表示n 阶微分等,这些符号进一步促进了微积分学的发展。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,他们的最大功绩是把两个毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。但一门科学的创立绝不是某一个人的业绩,它必定是经过很多人的努力,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的,微积分同样也是如此。

正如恩格斯所说：微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的,但不是由他们发明的。而那个富有争议的微积分定理,也被折中地命名为“牛顿—莱布尼茨”定理。