配电网弧光接地故障电弧数学模型研究进展

何乐为，冉佳权，刘红文，杨庆

（1.重庆大学输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆 400030；2.云南电网有限责任公司电力科学研究院，昆明 650217）

0 前言

中压配电网普遍采用小电流接地方式[1]。小电流接地系统发生最多的故障是单相接地故障。而在单相接地事故中，绝大部分属于电弧性接地。弧光接地故障引起的过电压对配电网的危害非常严重，其不稳定、难预测的特点使得针对它的防范措施效果有限，其中一个重要的原因就是电弧燃烧时的不确定性[2-5]。想要有效减小孤光接地故障带来的危害，就必须对电弧暂态特性有一个清晰的认识。而试验方式研究电弧特性成本高，不方便，因此使用建模的方式研究电弧特性是一个行之有效的方法。

交流电弧燃炽过程的特点是交流电弧中电流每半周要经过零值一次。在电流自然过零前后一段时间内，弧隙电阻变得相当大，以致成为限制电流值的主要因素。虽然电弧事实上仅在某一瞬间过零，但在电流自然过零前后整个一小段时间内，电流都近似等于零，而整个这一段时间就称为电流零休的时间。电流零休时间变化范围较大，在几到几千微秒之间不等。电流零休的时间与许多因素有关，一方面与弧隙内部过程有关，另一方面与电路条件即电压、电流及电路常数（电阻、电感、电容）有关。交流电弧的重燃与熄灭与电弧电流过零现象密切相关[6-8]。

交流电弧电流零休这段时间中，弧隙从导体逐渐变成绝缘介质，交流电弧的熄灭主要取决于这一过程。到目前为止，在分析电弧过程方面主要有四种理论，即彼得生（W．Peterson）理论（高频熄弧理论）、彼得（J．F．Peters）和斯列宾（J．Slepian）理论（工频熄弧理论）、弧隙介质强度恢复理论以及弧隙能量平衡理论[9]。多数研究者认为电弧的熄灭与重燃的时间是决定最高过电压的主要因素。以高频振荡电流第一次过零时熄弧来分析电压发展过程的，称为高频熄弧理论；以工频电流过零时熄弧来分析过电压的发展过程的，称为工频熄弧理论；弧隙介质强度恢复理论是斯列宾提出的，他们认为在过电压的发展过程中，起主要作用的不是熄弧时间，而是熄弧后间隙的电介质绝缘强度恢复速度。当电流过零后，电介质绝缘强度恢复速度大于电压恢复速度时，重燃就不会再发生。弧隙能量平衡理论是柯西提出的，认为电弧重燃不是电流过零后简单的热击穿，而是电路及弧隙之间能量平衡的性质。当弧隙的输入能量小于散发的能量，电弧熄灭。

电弧模型有两种研究途径：数学- 物理模型以及纯数学模型，称为黑盒模型（Black box models）。数学- 物理模型详细研究电弧的物理过程，需要对电弧燃炽和熄灭过程出现的物理现象，特别是对接近电流过零的能量现象有全面的认识。黑盒模型将电弧当作一个两端元件(即黑盒)，利用一个所选择的数学方式来决定传递函数，它仅描述电弧的外部特性，更适合用来研究配电网弧光接地。对电弧黑盒模型的研究始于20 世纪30 年代。1939 在全球电力网络大会上，CassieA.M 发表了著名的以他名字命名的Cassie 模型[10]；1943 年Mayr.O 发表了另一著名的以其名字命名的Mayr 模型[11]。两人都是在不同的假设条件下，只考虑一种散热方式而给出的模型。之后黑盒模型的发展主要分为三类，一类是控制论模型，一类是以各种方法修正Mayr 模型的黑盒模型，还有一类是跳出能量平衡理论，采用其他理论的黑盒模型。这些模型各有不同的适用条件。本文对近年来的配电网弧光接地的电弧模型进行对比分析，并在对其优缺点作对比分析的基础上提出今后的发展方向。

1 经典Cassie、Mayr模型

Cassie 和Mayr 的模型都是从热平衡的角度出发来推导数学表达式，但两者的假定条件略有不同，主要区别在于：Cassie 假定电弧弧柱中的温度一直保持不变，即无论在电弧发生过程的时间上还是电弧弧柱的空间上，温度大小都认为一直不会变化，而Mayr 假定弧柱的直径保持不变，电弧的温度沿着直径越远离圆心温度越低；Cassie 假定电弧热量的发散只与电弧中的气体流动或与电弧气体流动相关的圆柱体变化过程有关，而忽略从电弧圆柱体两段散发出的热量，而Mayr 假定电弧圆柱体中功率主要是通过电弧热量的散射和热能传导分散，而忽略圆柱体中气体对流的情况。Cassie 模型为

Mayr 模型的表达式为

其中，g 为电弧单位长度的电导，τc、E0、τM、Ploss为模型参数，均为常数。两者的形式比较相近，区别在于，在Cassie 的方程中，时间常数τc是等值的变化着的能量与散发出能量之间的比值，而在Mayr 的方程中，时间常数τM表示特性的贮存能量与散出能量（假定为常数）之间的比值。Cassie 电弧模型适合描述电弧电阻较小，即电流过零前的状况，而Mayr 模型适合描述电弧电阻较大，即电流过零后的状况。

2 控制论模型

控制论模型的主要改进在于将模型参数由静态转变为动态[12-14]。Hochrainer 于1971年提出控制论模型[15]，后又进一步发展。Hochrainer 将电弧的动态特性用稳态电导G(ia)和时间特性τ(ia) 来描述，并假定这两个参数都是电流ia的绝对值的函数，通过电流零区的电导和电导的一阶导数，可以得到G(ia)、τ(ia) 的序列。控制论模型的表达式为

在稳态时，它和Mayr 模型是等效的，两者的区别在于暂态，控制论模型中的时间特性τ是随电流变化的函数，而Mayr 模型中的时间特性为一常数。用控制论模型仿真得到的电弧电流波形如图1。

图1 控制论模型仿真电弧电流

Matsumura 和Stokes 等人[16]在控制论的基础上作了发展。仍假定G为电流绝对值的函数，其主要改进在于，把响应时间特性表达为动态电导的函数τ(g) 而非τ(ia)。时间特性应当与描述电弧在任何时刻的实际状态的参数有关，而动态电导是代表电导的实际状态，因此时间特性更适合表达为动态电导的函数。福州大学的许晔[17]等将改进的控制论模型应用于配电网单相弧光接地的仿真中，分析了不同电弧长度对电弧阻抗、接地电弧稳态和暂态特性的的影响。发现：电弧越长，电弧的阻抗越大，弧柱上压降越大，零休时间变长，电流振荡衰减速度变快。而对于电弧电流的幅值几乎无影响，与实际情况较为符合，表明控制论模型在配网电弧仿真方面有较好的适应性。

3 修正的Mayr模型

修正的Mayr 方程黑盒模型的研究工作集中于如何确定其参数τM和Ploss[18-20]。Amsinck[21]认为在τM和Ploss是电导g的函数，电弧过零前后的不同时刻t1、t2具有相同电导g处的τM和Ploss是相同的，可以据此近似得到τM(g) 和Ploss(g)的变化曲线。Zuckler[22]认为在一个很短的时间区间内，τM和Ploss变化很小，以至于可以近似认为不变，因此可以通过联立两个很近时间点上的Mayr 方程，把τM和Ploss看作是该时间段内的平均值，来获得他们的序列。但此法仅适用于电弧电流过零前的计算，在电流过零后区域上，用此法会得到负值的τM，因此并不适宜。Schavemaker[23]将时间常数τM设为常数，通过计算发现Ploss与电弧输入功率ui呈线性关系，于是将Ploss写成输入功率的一次函数Ploss=P0+uiP1，用P0和P1两个参数来表达耗散功率。该方法能较好地模拟零区附近的电弧特性，但是该模型是针对SF6气体中的电弧搭建的，对于空气电弧的适用性还未可知。Helsinki University of Technology(TKK)的Darwish等人[24]在Mayr 方程的基础上将τM写成以e为底，动态电导g的指数函数τM=AeBg，而将Ploss写成电弧电流绝对值的正比例函数，在电流的正负半区各用一组参数来对20 kV 系统树枝接地的情况进行仿真，如图2，并和试验进行对比，结果符合较好。但需要注意的是，由于试验中用了树枝进行接地，属于高阻接地，电弧电流非常小，为mA 级别，燃弧也较为稳定，因此该模型在几安到几十安的弧光接地，甚至伴随间歇性燃弧的情况下，仿真效果可能会不理想。

图2 TKK仿真电弧电压和电流波形

4 其他模型

上述模型都是基于弧隙能量平衡推导出的，也有从其他理论出发进行模型推导的。如清华大学的王宾等人提出的对数模型[25]，从汤逊理论出发，通过电离系数α，利用大量电子的定向运动来表达电弧电流，再通过实验得到α与电场强度E之间的近似关系，从而将电弧电流与电弧的场强联系起来，也将电弧电流与电弧电压联系起来，从而直接得到关于两者的解析式：

其中u、i分别为电弧两端的电压和流过电弧的电流，IS为一与电离系数有关的常数。该方程较好地描述了高阻接地故障的熄弧-重燃动态特性，如图3。但是该模型针对的是220 kV输电线路进行，在配网线路上实际应用情况如何还有待进一步研究。

图3 对数模型和Mayr模型、实际波形的对比

上海交通大学的顾荣斌等人[26]根据空气中静态电弧的经验表达式，通过将电弧长度分为几个区段，在每个区段建立相应弧长的静态电弧表达式，联立方程组合得到不同长度下电弧的特性方程组：

用这种模型对10 kV 中性点不接地系统的单相弧光接地进行仿真，其稳定燃弧时仿真波形与实际实验波形一致，证明了模型是适用的。但是这种方法依赖于静态电弧经验公式的准确性，且对于长度只能取固定的离散值，在系统参数发生变化时需要全盘调整参数，较为繁复。

5 发展趋势

经典的Cassie 和Mayr 模型提出时间很早，但限于当时的计算能力和测量条件，无法更进一步地对模型进行改进，因此准确性欠佳[27]。20 世纪70 年代以后，得益于计算机技术的兴起，使得学者们能够对模型进行验证和改进。控制论模型电弧的动态特性用稳态电导G(ia)和时间特性τ(ia)来描述，G和τ都是随电弧电流变化的，即随时间变化的，而经典模型对这部分特性是用常数来表达，是静态的。因此控制论模型更加先进，可塑性更强。类似地，修改的Mayr 模型也是从参数下手，研究τM和Ploss的变化规律和影响因素，以求得到最符合实验结果的表达式。但两者的问题都在于如何求解G和τ随时间的变化。纯理论分析很难彻底解决这个问题，一是电弧理论本身就不完善，二是实际工况中的电弧具有随机性，仅靠数学推导无法完整准确地反映电弧特性。因此，要进一步研究配电网的电弧模型，就必须要有大量不同工况下详实可靠的实测数据来对模型进行校正，比如不同海拔、不同接地电阻、不同接地电容等条件下的实测数据。由基本理论推导模型表达式，再根据实测数据对电弧模型进行修正，研究模型参数的变化规律和影响因素，并对电弧理论进行反哺，是今后电弧黑盒理论的发展趋势。

6 结束语

对电弧的黑盒模型的发展进行了梳理，总结了各个模型的特点，对比了模型的适用条件和其在配电网中的适应性。经典的Cassie 和Mayr 模型提出时间很早，但一般不直接将其用于电弧建模，多采用后来的学者们改进的模型；控制论模型和修改的Mayr 模型用随时间变化的参数描述电弧的动态特性，理论上有很强的可塑性，也已经有学者通过加入弧长变量，在配网仿真中取得了较好的结果；其他模型没有从能量平衡理论出发，研究者相对较少，有一定的特殊性和针对性，对于结构复杂且容易变化的配网来说不太适用。而今后配网中电弧黑盒模型的发展，是遵循“理论-模型-实验-理论”的闭环，不断往复校正的过程。