几类特殊形式的极限求法探讨

白梅

[摘要]本文结合具体的实例研究了无穷项乘积形式、积分形式包括含参量积分及变限积分、级数形式极限的求法，使数学分析学习者对这几种特殊形式极限的求法有个系统的认识.

[关键词]极限;变上限积分;级数

[中图分类号] 0171 [文献标识码]A[文章编号]2095-3437（2019）11-0100-03

极限是数学分析中的难点，文献[1]系统介绍了极限的定义以及极限的常规求法，但是仍有许多特殊类型的极限求法较为复杂，如文献[2-3]中研究的无穷和式形式极限的求法.本文通过对文献[4]充分研究，总结归纳了无穷乘积形式、积分形式以及一类级数形式的极限的求法.

一、无穷项乘积形式的数列极限求法

因为数列极限的四则运算法则仅适用于有限项之间的运算，因此对于无穷项乘积形式的数列极限，需要用其他的求极限方法，如对无穷项的乘积进行适当处理变换，用迫敛性、化简等方式计算。因为和式极限研究结论较多，因此也可通过取对数将乘积形式转化成和式形式再求极限.

（一）化简

（1）通分

分析：此题目是求无穷项乘积形式的数列极限，可以通过通分的方式进行化简，使无限项的乘积转化成有限项的有理式.

（2）利用平方差公式、三角函数恒等式化简

小结：此种方法的核心要素即将无限项的乘积转化成有限项的有理式.

（二）迫敛性

（三）转化成和式极限

此类型题目的做题原则即是通过对求极限对象取对数，由对数函数的性质，使得乘积形式转化为和式形式，从而利用定积分进行计算.

二、积分形式的极限求法

（一）利用积分中值定理

利用积分中值定理，将积分号去掉，转化成求正常函数的极限.

（二）利用变限积分求导法则

上述例子中F（x）为含参量正常积分，只需积分上限函数、积分下限函数和被积函数为连续函数，就可以利用含参量正常积分的连续性求极限;而对于含参量反常积分函数求极限，我们需要根据含参量反常积分函数的连续性，除了判断被积函数的连续性外，还需要判断含参量反常积分在定义域上一致收敛，如下述例题，

三、级数形式的极限求法

级数形式的极限即无限和式的极限，可参阅文献[5-6]中的方法进行求解，如利用和式的和、欧拉公式、施瓦兹定理、等价无穷小替换、傅里叶级数展开式、幂级数展开式等方法，也可利用级数的连续性，交换极限运算和求和运算的顺序，如下例题.

四、小结

本文讨论了用化简、迫敛性、转化为和式的方法来计算无穷项乘积形式的数列极限，其中化简的核心目的是使无穷项的乘积简化为有限项的有理式;以及用积分中值定理、变限积分求导法、含参量积分连续性来计算积分型函数极限，关键点在于将积分号巧妙去掉;最后讨论了用函数项级数的连续性来计算一类级数形式函数极限的方法，并给出了相应的实例，给数学分析学习者计算极限提供了系统的结论.

[参考文献]

[1]华东师范大学数学系编.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]牛海军.几类特殊和式极限求法的归纳[J].电大理工，2015（2 ）：20-21.

[3]蔡瑾，刘宁.无穷和式极限求解的几种方法[J].赤峰学院学报（自然版），2013（20）：11-12.

[4]钱吉林编著.数学分析解题精粹[M].修订版.北京：中央民族大学出版社，2009.

[5]贾延.和式极限的求解方法[J].贵阳学院学报（自然科学版）.2013（3 ）：9-11.

[6]林美娟.略談和式极限的求法[J].科技资讯，2015（ 21）：233-234.

[责任编辑：林志恒]