概率问题解决能力微探

罗静　徐文峰

摘   要：文章以数学教学专业硕士的一道期末考试题作为研究材料，对学生概率问题解决能力做一个初步的分析，得出学生习惯用弱方法解决概率问题且忽略强方法的运用是错误率高的原因之一。文章从波利亚解题四个步骤分析，指出错误集中在“理解题目”和“执行方案”两步，从而推断出没有很好执行第四步“回顾”是学生未能纠正错误最主要的原因。

关键词：考试题;问题解决策略;回顾

作者简介：罗静，广东省韶关市韶关学院数学与统计学院讲师，博士研究生，研究方向为数学基础教育、高等数学教育（广东  韶关  512005）;徐文锋，广东省广州市华南师范大学数学科学学院讲师，研究方向为半群理论及高等数学课程与教学。（广东  广州  510000）

基金项目：本文系广东韶关学院第十八批教育教学改革研究项目“数学核心素养导向的‘高等数學教学探讨与实践”（课题编号：SYJY20171844）与广东韶关学院2015年度科研项目“韶关学院高等数学教学的现状与调查研究”（课题编号：S201501021）;广东韶关学院2016年度科研项目“双循环半群上同余研究”（课题编号：SY2016KJ21）的研究成果。

中图分类号：G652     文献标识码：A      文章编号：1671-0568（2019）23-0024-03

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在基本理念中提出“把握数学本质，启发思考，改进教学”，这是对教师教学提出的新要求。现有的研究大多根据学生或教师的角度，用问题解决的专用问卷分析学习和教学情况，这些专用问卷都是针对大范围的能力水平测试，没有面向教学中具体模块，如概率问题解决能力的小范围测试问卷，因此，合理应用常规的测验对问题解决能力进行评估是很重要的。本文以2017级数学教学专业硕士的一道期末考试题的答题情况作为研究材料，从问题解决策略的角度对学生答题情况进行分析研究，并从波利亚解题四个步骤分析学生错误的原因，为小范围的概率问题解决存在的问题的初步评估和分析提供参考。

一、 试题与答题情况分析

参加本次考试的学生共57人，最终得到57份答卷。

试题为：一个酒鬼的钥匙串上有k条看起来相同但实际上不同的钥匙，其中只有一条可以打开他家的大门。午夜回家，他一条钥匙接一条钥匙地尝试开自家的大门。

（1）如果每一次他都随机地选择没有试过的一条钥匙，那么在试到第n次（1

（2）如果每一次他都从k条钥匙中随机选择一条，那么在试到第n次（1

解题情况如表1（P25）所示。从综合情况看，共17个（其中完全正确有9人）学生能正确选择分步乘法原理解决问题，可见学生对这个方法是最熟悉的。结果表明，没有学生用古典概型来解决问题，正确使用分类乘法的9位学生中，也没有在解答过程中对“事件”进行界定，只是直接给出算式和答案。

解题失败的类型集中在错误一与错误二：首先，关注“第n次打开门的概率”这个条件的有21人，其中15人答案为，6人答案为。他们忽略了题目中的其他条件，属于未理解题意;其次，有8位学生虽正确选择了分步乘法原理，但是答案为，其原因是分步中的每一步概率均错写为开门的概率，属于理解题意并已得到解题方案，但是在执行方案时出现了错误。

第（2）问的答题情况和第（1）问基本相同。第（1）问中属于错误一和错误二的所有29个学生均用同一错误方法;在正确的结果中，第（1）问用解法一的学生用同样的方法解决了第（2）问。从以上分析可见，学生把两问看成密切相关的整体，毫不犹豫地延用解题模式解决第二个问题。

答题情况并不理想。只有18位学生得到正确答案，且其中9位在解题过程中存在一些问题，其余39位学生均出现明显的错误。从答题者对概率知识掌握情况分析，他们对“基本事件”和“古典概型”均未达到理解的层次。对问题的基本事件进行准确的界定，是解决概率问题的第一步，也是必不可少的关键步骤，确定基本事件及其发生的概率是理解问题本质属性最有效的方法。从答题情况来看，缺乏对基本事件清晰的界定，是本题正确率低的重要原因之一。 基本事件的相关定义和古典概型均是教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《实验版》）中新加入的内容，计数原理一直是高中数学的教学内容，在《实验版》中调整为必修2-3的内容。由本次解题情况，可见新增加概率的知识虽然是必修课的内容，但是此次答题的学生未真正理解和掌握。对比两问的答题结果，解题思维惯性也是犯错的一个重要原因，没有深入思考两个问题的本质区别，失去了纠正错误的机会。

二、概率问题解决研究视角

1. 从解题策略分析。解决问题的策略一般有两种类型：强方法和弱方法，还有学者提出知识类型法作为第三种解题策略。

弱方法是当解决者并不知道怎么直接解决问题时所求助的一种通用的问题解决策略，这种一般性的启发式称作差异递减法，其中最著名的就是“爬山法”和“手段—目标分析”。应用分步乘法原理解决第（1）问就是“爬山法”模式。“手段—目标分析”这种启发式和“爬山法”的不同在于问题解决者能把一个问题分解为若干个子问题，典型的例子有解决河内塔问题的目标递归策略，不完全归纳法也是这一问题解决策略的应用。用弱方法解决问题是重新组合规划已有的技能，并有可能进一步概括出解决此类问题的强方法，有研究者认为这对学习者而言是新的学习结果，是真正的问题解决。而弱方法最大的缺点是很难判断问题是否得到正确地解决，其效率比较低且经常会无功而返。从本题答题情况来看，38个用分步乘法的学生中的29人错误理解题目信息而解题失败。这恰恰验证了虽然弱方法可以解决很多非良构问题，但如果弱方法涉及的是来自记忆或情境中的不正确信息就会直接导致错误。因此“讲授这些方法是否应该成为教育的首要目标则是值得怀疑的”。