论小学生代数思维的培养

“数与代数”作为义务教育阶段数学课程教学的四大内容之一，不仅有数的概念的学习，还包含了代数思维的学习。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）明确提出“理解符号[<]，=，[>]的含义”，“能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题”，“在具体运算和解决问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系”，“了解等式的性质，会用等式的性质解决简单的方程”。代数思维主要体现在符号、简单的量的关系、等式与方程的过程与结构之中。代数思维的形成是学生学习数学的重要转折点。因此，在算术的学习转向代数的学习过程中要做好数的学习与代数学习的衔接，这样有利于学生在知识体系中对代数有更恰当的理解，为代数的学习奠定基础。

在现行的小学数学教材中，无论哪个版本的教材，都安排了丰富的代数学习素材，帮助学生由算术思维过渡到代数思维，从而实现由小学数学学习到初中数学学习的无缝衔接。

一、代数思维的内涵解析

（一）代数思维的内涵

代数是由算术演变而来的一种以解方程的原理为中心的、系统的、更普遍的解决各种数量关系的方法，是对各种数量问题的解法进行总结并提炼的结果。[1]但代数思维与算术思维有着本质上的不同。算术思维是从条件出发，利用具体的数量计算记录解答中的思考过程，等式两边是不对称的，表现为：左边表明的是具体的计算，右边则是计算所得出的结果。这个过程是程序性的。而代数思维研究的对象是代数式及其运算与变换，是通过联系条件与问题，利用数量相等来建立关系后转化并产生一定的表达式的结构，其本质是一种关系思维。因而代数思维既有代数的结构化和符号化的特点，同时又兼具思维的抽象化和概括化的特点。国际数学教育界认为代数思维主要包含两个含义：借助于符号的一般化;符号的形式操作。[2]

（二）代数思维中的主要数学思想

数学思想是数学课程教学的精髓，是学生学习数学必备的素养。学生学习数学不仅仅是掌握包括定理、公式、运算程序以及解题方法在内的数学知识与技能等必要的数学知识结论，还需要在学习这些知识结论的过程中获得数学思想。总体而言，小学数学代数思维涉及的主要数学思想有符号化思想、函数思想、方程思想以及模型思想。

1.符号化思想

数学世界是一个符号化的世界。数学符号因其具有简明、抽象、清晰和准确等特点成为数学世界中常用的语言，并促进了数学的发展与推广应用。代数思维中主要涉及字母、图形、手势和行为等符号，这些数学符号是人们在研究现实世界中的数量关系和空间形式的过程中产生的，由于使用便利，人们对一种符号赋予了一定的含义，使其能够进行精确的数学运算和推理证明。例如，在探究“加法交换律”时，学生受认知发展水平的限制，通过算式的特点能够理解[a]+2=2+[a]，明白[a]与2之间的数量关系，进而转化为可以用符号表示的运算律：[a]+[b]=[b]+[a]。但是对于代数思维来说，使用字母符号既不是必要的，也不是充分的。代数思维的核心是“分析+概括”，而非字母本身。[3]也就是说，代数思维不是必须使用“字母”，而是强调符号化思想。

2.函数思想

小学数学蕴含着丰富的函数思想。函数是描述自然界中一种量会随着另一种量的变化而变化的关系，强调量与量的一种依存关系。函数思想是指用运动发展变化的眼光去探究具体问题中存在的数量关系，建立起函数关系，从变化当中找到不变的规律，进而对事物的变化规律进行描述，在相互依存、相互关联的量中，根据其中的一个量表示出另一个量。比如，在教学正比例和反比例的内容时，已知铅笔每支售价1.2元，要解决的问题是：购买2支、3支……10支铅笔分别需要的价钱。分析后发现，铅笔支数的增加会导致价钱的变化。如果购买[n]支铅笔，那么总价钱[m]元和铅笔[n]支就可以用[m]=1.2[n]来表示。

3.方程思想

方程思想是指从分析问题的数量关系入手，通过假定未知数（如[x]），把问题中条件的已知量和未知量的数量关系转化为方程或方程组的形式，再利用等式的性质求出未知量解决问题。方程思想的核心就是找出未知和已知之间的关系，用不含数字的数学符号表示出问题中出现的数量间等价的关系，建构出对应的数学模型。

方程思想是典型的代数思维的体现，从列数学算式解决问题到列方程解决问题，学生的思维方式发生了较大的变化。在问题解决过程中，学生能够快速地通过列算式解决问题，比如在总价问题、折扣问题、路程问题中的条件较为简单明了，运用算式求解就是不错的选择。但是在复杂的问题解决中更强调学生积极使用代数思维，先分析条件、明确问题，找出问题中的相等关系，然后用方程表示已知量和未知量的相等关系，再结合四则运算的性质和等式的性质解方程。这体现了方程思想把问题中的未知量和已知量放在等同的位置，从而降低分析问题和解决问题的难度，有利于学生解决数量关系较为复杂的问题。

4.模型思想

模型思想是小学数学教学中的核心思想。模型思想是指用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的数学结构来解决实际问题的思想方法。小学生在列方程解决问题时经历的建模过程，主要体现在从一个问题情境中发现某种关系，再用数学符号语言对这个关系进行描述，建立起一個含有未知数的等量关系，或者是在几个有联系的问题情境中发现相同的数学结构，用表格、线段图、图形等形式来解释。

二、小学生代数学习中存在的问题

“数与代数”作为小学数学课程内容的重要组成部分，是学习数的概念之后的进一步深化和提升，在数学课程内容中所占比重大，分布较为广泛，内容主要涉及字母表示数、式与方程、正比例与反比例等。相比较而言，从表现形式上看，代数思维是一种形式的符号操作;从思维形式上看，代数思维是一种基于规则的推理;从问题解决的本质来看，代数思维是一种数学建模活动;从代数的本质上看，代数思维是以一般化的思想为核心。[4]小学生的抽象概括能力比较低，如果教师不重视引导学生运用代数思维解决问题，就会造成小学生在代数学习中出现一些问题。

（一）在符号表征方面的理解与使用上存在困难

表征是指由符号或符号组成的代数式、方程、不等式、函数来表示数学中的对象或结构。从“代数”的字面意思来看，可以理解为用符号表示数。符号强调的是字母、图形等，用符号表示数字，实际上就是把符号看成是“待解的已定数”，使解题的焦点产生转移。但学生在梳理一些问题的条件时，会在一些具体的问题情境中出现难以理解符号表征的情况，如：○-△=3，□+○=16，△+4=10。□=（ ），○=（ ），△=（ ），○、□和△这些符号在式子中都是用来表示具体的数，当这些具体的数暂时被符号所代替时，有的学生就会感到有困难，因为问题的焦点不再是以“某数”的形式存在，而是转化为求出这些方程式及其解答方法上了。如果学生仍然纠结于○-△的结果是3、□+○的结果是16、△+4的结果是10的话，就很容易忽视等号两边之间相等的关系，也就不能正确理解符号所代表的关系，导致解答错误。

（二）将特殊情境聚焦于一般化的解题方法上有难度

《标准》在第二学段的学习目标中提出能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程，要求学生能运用方程思想和函数思想找出问题情境中的数量关系，发现相等的量，跳出题目所给的特殊的情境与数字。

一般化是代数思维的核心，是代数学习的基础。[5]在简单的问题解決中，如果学生只是借用代数的符号，就题解题，只关注6+7的结果是13（如6+7=13），这实际上运用的还是算术思维，并没有关注符号背后支撑其相等关系的代数思维，会影响学生在复杂的问题情境中发现已知量和未知量之间的关系，形成问题结构化，导致无法顺利地解答问题。传统的数学教学认为，小学数学以培养学生的算术思维为主，把学生的代数思维发展看作是中学数学教学的任务，导致教学时对代数思维中的数学思想渗透得比较少，这也给小学生的代数学习及其代数思维的发展带来了障碍。

（三）既有的算术思维习惯和偏爱的阻碍

皮亚杰的儿童认知发展理论认为，儿童在感知运动阶段就能够对较小的数量产生反应，因此，进入小学之前就具备较强的算术思维。进入小学后，一直到四年级，学生都是用算术方法解题，到五年级开始学习方程时容易出现不习惯用列方程的方法解题的情况，当看到能用算术方法解题时就会直接运用算术思维解决。此外，已有的研究发现，学生对体现算术思维背后的数值性方法的喜爱胜过于用结构化的方法，这是因为小学生接触的大多数是简单的数量关系，知道如何去做，在这种情况下用方程解题的优势就难以凸显出来，用方程解决问题的意识就比较薄弱，相应的，列方程解题的能力也会受到影响。

三、小学生代数思维的培养策略

在学生从算数思维过渡到代数思维的学习中存在的困难与问题的研究中发现，算术思维向代数思维的过渡绝不仅仅是通过大量的算术练习或符号操演就能解决的。小学生代数思维的培养可以围绕关注符号表征、方程思想解题、函数思想及关系性思维几个方面展开。

（一）在多元表征的学习中发展学生的符号表征意识

在教学中，代数思维的培养要注重符号语言。学生能够运用自然语言描述量与量之间的关系后，教师可以引导学生思考能否用符号或者含有字母的式子表示，使学生在主动发现与交流中利用包括符号在内的多种形式表征同一情境，从而加深对不同表征形式中的等价关系的理解，将等价关系推广到类似的情境中发展代数思维。

例如，在教学“整数乘法的认识”时，教师可以呈现：2+2+2=（ ）×（ ），4+4+4=（ ）×（ ），9+9+9=（ ）×（ ），△+△+△=（ ）×（ ），[a]+[a]+[a]=（ ）×（ ）。通过△、[a]表示算式中相同的加数，引导学生进一步思考△、[a]可以表示哪些数，从而理解乘法的意义。在学习运算律时，教师可以引导学生简化“加法交换律、加法结合律、乘法交换律以及乘法结合律是什么”的自然语言，让学生用符号语言来呈现，再对符号所代表的数进行讨论，将符号渗透到变量和等量关系中，这对学生学习代数来说是非常有必要的。符号语言的概括化与一般化也是代数思维的特点，为在问题解决中的使用提供了便利，也提高了学生的代数思维能力。

（二）培养学生用列方程解题的意识和能力

《标准》明确了通过“式与方程”的学习，学生头脑中的数的概念得以扩展，能更简明地用符号表达日常生活中的数量关系及一般规律。“式与方程”的学习是学生由算术学习转向代数学习，由算术思维向代数思维发展的必经之路。由算术思维过渡到代数思维，教师需要精心设计教学活动，让学生经历这一过程。

第一，培养学生用方程解题的意识。小学生在解决问题过程中往往习惯于利用头脑中已有的算术知识经验，且大多数刚学习方程的学生并不能意识到方程的优点，主观使用方程解题的意愿不高。对于计算较为复杂的题目，用算术法解题比较复杂，步骤繁琐，相比较而言，用方程解题有以下优势：可以根据条件中的数量关系进行整体的构造，能清晰地解释问题的结构，避免在算术解题中对中间变量进行解释;通过将未知数与已知数放到对等的位置上操作，能避免算式解题中逆向思维所带来的困难。所以，教学中教师可以设置一些趣味性的生活问题或稍微复杂的问题情境，让学生切实感受到列方程解决问题的独特价值，培养学生用方程解题的意识。

第二，提高学生用方程解题的能力。在日常的问题解决教学中，教师要有意识地训练学生寻找题目中的数量关系，弄清楚题目需要的是直接假设还是间接假设需要的量，然后用符号语言建构方程。在用相等的数量关系写出方程后，教师再指导学生应用四则运算的性质或利用等式的性质解方程，明确假设的量是使这个方程平衡的值，从而发展学生用列方程解决实际问题的代数思维。

（三）创设合适的情境，渗透函数思想

代数思维的核心思想是一般化，突破具体问题情境的限制，寻找到一般化的思想也是函数思想的体现。尽管在《标准》中没有明确指出第一学段有关函数思想的内容，但结合现行的小学数学教材就会发现，在第一学段的学习中，函数思想主要是通过表格、找规律等形式进行渗透。

如下表，教学时教师通过让学生观察被减数和减数的数值变化情况，能够总结出差的变化规律。当然，也可以表征发现减数与差的关系，推广到减数与差的和、被减数之间的等价关系。同时，教师可以询问学生能不能再写出满足这样关系的量并描述其变化规律。

减法算式各部分之间的关系[被减数 70 70 70 70 减数 14 24 34 44 差 ]

在第二学段，教师可以通过学生熟悉的问题情境去研究变量间更进一步的关系。教学正比例和反比例时，教师要鼓励学生在分析具体问题和進行数据计算后，进一步探究问题中的简单的表达式，根据问题中变量之间的呈正比或者呈反比的关系，尝试建立起自变量、因变量和常数的关系，同时联系生活实际，体会量与量之间一一对应的关系，抓住问题情境中最为本质的函数关系，引导学生进入真正意义的代数学习。

（四）关注学生关系性思维的培养

关系性思维是代数思维的基础，是基于将等号两侧的表达式和等式看作整体，对各数量“有联系地”进行思考，揭示相互关系的思维。这种“联系”是不需要通过常规的计算得出结果，是通过呈现出的一系列常规算式在比较中去抓住数与数之间的联系。[6]例如，计算58+37可以利用58接近60，通过58“增加2”，则37“减去2”转化为60+35。这种转化就隐含着“[a]+[b]=（[a]+[c]）+（[b]+[c]）”这样一种代数关系和结构。受这种关系结构式的启发，学生利用这种策略解决不同的数字问题，不仅体现了代数思维中对等号两边数量关系的等价，也表现了对“抵消”这一数字关系的理解。这样，即使学生思考的对象是算术，实际上却是代数思想在支撑着。

参考文献：

[1]李星云.论中小学数学教学的衔接[J].广西教育，2012，（11）：28.

[2]徐文彬.如何在算术教学中也教授代数思维[J].江苏教育，2013，（9）：16-17.

[3]郑毓信.数学教学与学会思维——“教数学、想数学、学数学”系列之四[J].小学数学教师，2015，（6）：4-11.

[4][5]周颖娴.初一学生从算术思维过渡到代数思维的困难分析[D].苏州大学，2009：8-12.

[6]张晓霞，宋敏.小学生关系性思维的测试与分析[J].教育与教学研究，2009，（7）：24-27.

[作者简介]李星云，男，南京师范大学小学教育研究所所长、教授、博士生导师。

（责编 欧孔群）