立足基础 突出选拔 注重思维 凸显创新

文尚平　徐华

在国家推行新一轮课程改革及各地陆续进入新高考的背景下，2019年广西高考所采用的全国Ⅲ卷文、理科数学试题的命制，既严格遵循《普通高中数学课程标准（实验）》的要求，又紧扣《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》（以下简称《2019年考纲》），试卷结构稳中有变、变中求新，试题设计在立足基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的同时，坚持以立德树人、服务高校人才选拔为导向，多角度、多层次地考查考生的学科素养，不仅考查了逻辑推理、数学运算、创新意识与中国传统数学文化，更突出了数学的基础性和应用性.深入分析试题的这些特点和变化，能够为2020年的高考备考提供一些启示.

一、2019年高考全国Ⅲ卷数学试题分析

（一）试题结构分析

2019年高考全国Ⅲ卷数学试题的结构、分值分布与往年相比基本保持不变.结构方面讲，依然是12道选择题、4道填空题、6道解答题，解答题依旧是5道必考题和1道选考题，选考题为“二选一”模式，考生只需从坐标系与参数方程、不等式选讲中任选1题解答即可;分值分布方面讲，单选题60分，填空题20分，解答题70分（含选考题10分）.数列与不等式、三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数六大主干知识依然是考查的重点和难点，数学学科基础知识与基本技能的考查仍为主导方向，同时也兼顾了学科素养与人文精神的培养，突出了“立德树人”价值导向.

（二）试题特点

分析近三年高考全国Ⅲ卷数学试题（理科）可知，高考数学试题总的特点是“稳中有变，变中求新”（如图1）.综观今年全国Ⅲ卷理、文科数学试题，又可见“四个相对稳定”和“四个变化”.“四个相对稳定”，即题型、题量和分值相对稳定，主干知识、基础知识的考查相对稳定，数学思想、通解通法的考查相对稳定，核心素养、关键能力的考查相对稳定.“四个变化”，即文理趋同性变大、阅读量增加、考查内容的顺序改变和部分考查内容被删除，比如三视图、线性规划连续两年未曾出现，程序框图间隔一年再次出现等.不仅如此，试题在变化中还突出了创新性，比如在落实“立德树人”的要求中突出了“劳育”，在学科融合中渗透了边缘知识的掌握和学科应用思想的培养，淡化了立体几何向量法、解析几何固定的解题程序，考查了考生思维的创新性和批判性.

具体说来，2019年高考全国Ⅲ卷理、文科数学试题主要具有如下几个特点.

1.注重基础知识，聚焦关键能力，提升数学素养

2019年高考全国Ⅲ卷理、文数学試题的基础题、中等难度题及难题的比例都是7∶2∶1，基本遵循了“考查基础知识，兼顾能力考查”的原则和“对能力的考查，以思维能力为核心，突出综合性、应用性”的指导思想，将学科知识、关键能力和思想方法融为一体，全面检测了考生的数学素养.

以理科卷为例，考查数学运算的题目有第1、2、4、5、6、9、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23题，主要考查考生的运算求解能力，体现了量化的数学观.考查逻辑推理的题目有第6、9、10、15、19、20、21、23题，主要考查考生的推理论证能力.考查数学抽象思维的题目有第9、11、20题，主要考查考生的抽象概括能力.考查直观想象的题目有第7、8、10、15、16、19、21、22题，主要考查考生的直观想象能力，如利用图形描述和分析数学问题.考查数据分析的题目有第3、9、17题，主要考查考生的数据处理能力，如提取题目数据的关键信息，对已知数据进行细致分析，建立相应的模型，进而解决相关问题.考查数学建模的题目有第12、18、21题，主要考查考生的思维过程、实践能力和创新意识.

2.弘扬优秀传统文化，增强文化自信

《2019年考纲》明确提出，高考命题应弘扬中华优秀传统文化，积极培养和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能，落实“立德树人”目标，兼顾学科素养与人文精神的综合培养.如理科卷第3题、文科卷第4题，以考生阅读“四大名著”的调查数据为题目背景，考查了处理抽样数据、计算频率的估计值等知识，情境贴近实际，为考生所熟悉.

3.关注现实问题，落实“立德树人”

2019年高考全国Ⅲ卷在内容上推陈出新，既结合时代背景，关注现实生活，又积极融入数学文化，凸显育人价值导向.而且题目的设计具有情境真实、贴近生活、文化底蕴深厚等特点，体现了数学思想方法在解决实际问题中的作用.如理、文同题的第16题，为求解运用3D打印技术制作的模型的质量，创设了考生到工厂劳动实践的场景，引导考生关注劳动、尊重劳动、亲自参与劳动，体现了“劳育”的要求.又如理、文同题的第17题，以离子在生物体内残留情况为出题背景，考查了数据统计与分析的知识，反映了数学的本位知识、思想方法与其他学科知识、方法的融合.

4.增大文理趋同性，为新高考作铺垫

对比分析今年高考全国Ⅲ卷文、理科数学试题的考查内容，其中有59%的相同题、27%的姊妹题，只有14%的题目不一样，文理趋同性更为明显，如文科数学的第3题还渗透了理科排列组合的知识与方法.相比过去3年，今年试题难度的变化是理降文升，这与即将在全国范围内逐步推进的取消文理分科、文理数学同卷的改革相呼应.

（三）试题解题思路点拨

1.常考常新的主干知识

三角函数与解三角、数列与不等式、概率与统计、立体几何与空间向量、解析几何、函数与导数这六大模块是高中数学的主干知识和核心内容，是高考考查的重点.

（1）《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《2017课标》）将三角函数归入主题二“函数”部分，更加强调了三角函数的“函数”属性，要求考生学会用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质，并利用三角函数构建数学模型，解决实际问题.同时，《2017课标》把解三角形归入主题三“几何与代数”部分，要求考生结合向量的运算，探索三角形边和角的关系，掌握并利用正、余弦定理解决数学问题.

如文、理同题的第18题：△ABC的内角A，B，C的对边分别是[a]，b，c，已知[a] [sinA+C2=b] sin A.（1）求B;（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

试题分析：今年的解三角形题难度加大，考查形式更加灵活，可以说是“容易题”不“容易”，让一大批考生措手不及.试题中，第（1）问是求解三角形的几何要素（内角），需要利用正弦定理、三角恒等变换、诱导公式进行求解;第（2）问是已知三角形一边与邻角的大小，求解三角形面积的取值范围，考查考生几何问题代数化的思维与能力，重基础、考能力，体现了数学核心素养中的几何直观、数学运算能力等要素.这道题设计“入口宽，方法多”，对函数与方程、转化与化归的要求较高，有区分度，有利于人才选拔.

解法分析：解三角形的取值范围问题，往往会综合考查三角恒等变换、均值不等式、函数等知识，数形结合、代数化思想是解决这类问题的关键.这道题第（1）问的三种解法分别体现了三种不同的恒等变换方向;第（2）问解法一、解法二分别从“角”“边”两个截然不同的方向描述了锐角三角形，解法三体现了极限思想与特值思想的应用，解法四体现了几何法与代数法的综合应用.

第（1）问解法一：由题设及正弦定理[asin A=bsin B]得sinA sin[A+C2=sin Bsin A].由于[sin A≠0]，所以[sinA+C2=][sin B].又A+B+C=[180°]，即[sinA+C2=cosB2]，所以[cosB2=][2sinB2cosB2]，且[cosB2≠0]，故[sinB2=12]，且[B∈（0°，180°）]，因此[B=60°].

第（1）問解法二：解法一是消[A+C2]留[B2]，其实也可以消[B2]留[A+C2].具体为，由解法一得[sinA+C2=][sinB]，又A+B+C=[180°]，即[sinB=2sinB2cosB2=2sinB2][sinA+C2]，又[sinA+C2≠0]，所以[sinB2=12]，且[B∈（0°，180°）]，因此B=60°.

第（1）问解法三：由解法一得[sinA+C2=sinB]，两边平方得[sin2A+C2=][sin2B]，即[1-cos（A+C）2=sin2B]，又A+B+C=180°，即cos（A+C）=-cosB，所以[1+cosB=2sin2B]，所以[2cos2B]+cosB-1=0，解得cosB=[ 12]，因此B=60°.

第（2）问解法一：由题设及（1）知△ABC的面积[S△ABC=][34a]，根据正弦定理得[a=csinAsinC=sin（120°-C）sinC=][33tanC+][12].由于△ABC为锐角三角形，故[0°

第（2）问解法二：由面积公式[S△ABC=12acsinB]及（1）得[S△ABC][=34a].根据余弦定理[cosB=a2+c2-b22ac=12]，所以[b2=a2-][a+1]①;由于△ABC为锐角三角形，故[cosA=][b2+c2-a22bc>0]，得[b2+1-a2>0]②;由[cosC=a2+b2-c22ab>0]得[a2+b2-1>0]③;由①②③得[12

第（2）问解法三：由（1）得B=[60°]，A+C=[120°].据大角对大边，且△ABC是锐角三角形，可知当角A无限接近[π2]时，△ABC的面积无限靠近最大值[S1]，且[S1=32].同理，当角C无限接近[π2]时，△ABC的面积无限靠近最小值[S2]，且[S2=38].因此，[S△ABC∈（38，32）].

第（2）问解法四：由面积公式[S△ABC=12acsinB]及（1）得[S△ABC=][34a].由于△AB[C′]是锐角三角形（如下图），在[Rt△ABC′]中作[AD⊥BC′]于D，所以符合本题条件的点C在线段[DC′]内，且[BD=12]，[BC′=2]，即[12

小结：《2017课标》对三角函数各模块做出了明确要求，除了文科和理科要求基本相同，还把正弦、余弦定理规定为“掌握”，不仅突出了能力立意、学科特征，而且考查了考生的思维能力和学习潜能，有助于推动新一轮课程改革.

（2）历年高考中，函数与导数通常是以3小题、1大题的方式进行考查，客观题主要考查函数的基本性质、图像辨识、零点问题、导数、定积分及与不等式综合等，主观题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式等综合问题.题目设计的特点是轻技巧、重方法、多层次、重能力，考生要善于挖掘题目隐含的条件和等价转化，掌握通法，方可做到会且对、对且全、全且快.

如文科数学的第12题、理科数学的第11题：设[f]（[x]）是定义域为[R]的偶函数，且在（0，[+∞]）单调递减，则（  ）.所列4个选项为：A. [flog314>f2-32>f2-23]，B. [flog314>f2-23>f2-32]，C. [f2-32>f2-23>flog314]，D. [f2-23>f2-32>flog314].

试题分析：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值.因为[f]（[x]）是R上的偶函数，所以[flog314=f（log34）];因为[log34>][log33=1，1=20>2-23>2-32，]所以[log34>2-23>2-32].又[f（x）]在（0，+∞）单调递减，所以[flog34

小结：函数的性质及应用是客观题考查的重点，主要考查图像的辨识、初等函数的性质、函数零点、不等式、导数及应用等知识，常见的是比较大小和零点问题.上述题目更加突出了函数思想方法这一考点，解题时需要淡化技巧，善于采用特值的思想方法.

再如理科数学第20题：已知函数[f（x）=2x3-ax2+b].（1）讨论[f（x）]的单调性;（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，说明理由.

试题分析：这是一道常规的导数不等式综合题，题目难度较往年有所降低，思维量不大，但运算量不少.第（1）问起点低、入手宽，考查考生根据a的取值范围进行分类讨论研究函数单调性的能力，属于容易题;第（2）问考查考生根据a的取值范围，结合函数单调性进行最大值和最小值判断的能力.

解法分析：含参函数单调性的研究、最值的求解，往往伴随着分类讨论的思想与方法，所以关于分类讨论的程序和模式是解决这类问题的关键.

解：（1）f ′[（x）=6x2-2ax=2x（3x-a），x∈]R，令[f][′][（x）=0]，得[x=0或x=a3].

①若a=0，[f][′][（x）≥0]恒成立，[f（x）]在（-∞，+∞）单调递增.

②若[a>0]，则[x∈（-∞，0）∪（a3，+∞）]时，[f]′[（x）>0];当[x∈][（0，a3）]时，[f][′][（x）<0].故[f（x）]在[（-∞，0），（a3，+∞）]单调递增，在[（0，a3）]单调递减.

③若[a<0]，则[x∈（-∞，a3）∪（0，+∞）]时，[f][′][（x）>0];当[x∈（a3，0）]时，[f][′][（x）<0].故[f（x）]在[（-∞，a3），（0，+∞）]单调递增，在[（a3，0）]单调递减.

（2）满足条件的a，b存在.

①当[a<0]时，由（1）知[f（x）]在[0，1]单调递增，所以[f（x）min=f（0）=b=-1]，[f（x）max=f（1）=2-a+b=1]，解得a=0，b=-1.结果与[a<0]矛盾.

②当[a=0]时，由（1）知[f（x）]在[0，1]单调递增，所以[f（x）min=f（0）=b=-1]，[f（x）max=f（1）=2-a+b=1]，解得a=0，b=-1.结果与[a=0]符合.

③当[0

④当[2

⑤当时[a≥3]时，由（1）知[f（x）]在[0，1]单调递减，所以[f（x）min=f（1）=2-a+b=-1]，[f（x）max=f（0）=b=1]，解得a=4，b=1.结果与[a≥3]符合.

综上可知，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1时，f（x）在区间[0，1]的最小值为-1，最大值为1.

小结：导数解答题的位置前移，难度降低，变得“友好”，体现了今年数学试题“稳中有变，变中求新”的趋势.那么，是否意味着2020年会弱化导数的考查呢？相反，今年的试题强化了导数的工具性，对考生利用这个工具分析问题、解决问题的能力，以及分类与讨论的思想、意识与能力提出了更高要求，体现了对数学核心素养的数学抽象、数学运算能力的培养，回归了导数的工具本质.

（3）解析几何的考查过去一直保持着2道小题1道大题的题量，以及文理同题的基本模式，但今年的考查難度有所增大，凸显了代数与几何的双重特征，体现了这部分内容在高考中常考常新的特点.

解析几何的小题往往与大题互补，而且立足基础、突出运算能力，考查重点主要是求解圆锥曲线的几何要素，比如离心率的值（范围）、曲线方程、焦点坐标、弦长、渐近线方程等，注重考查基础知识、基本方法.解析几何的大题既重视代数运算与变形，又重视对几何性质的探究分析;既重视函数与方程的重要思想方法，又重视向量的工具作用;既重视考查考生的分析探究能力，又重视考查运算推理能力.考查的重点主要有轨迹方程的求解、定点定值问题、存在型探究性问题、范围（最值）问题等.

如理科卷第21题：已知曲线C：[y=x22]，D为直线[y=-12]上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明直线AB过定点;（2）若以[E（0，52）]为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

试题分析：第（1）问是证明抛物线切点弦所在直线过定点，属于曲线系（或直线系）过定点的问题，问题的本质是当曲线系（或直线系）运动变化时，这些曲线（或直线）相交于一点;第（2）问是计算四边形面积问题，属于数学建模的问题，需要建立面积函数模型.

解法分析：关于第（1）问，解决定点、定值问题常用的方法有两个.一是从特殊到一般，先从特殊情况入手，挖掘问题本质，猜出定点（定值），再通过观察规律证明一般性结论;二是从变量中寻求不变，即先用变量表示出要求解的点坐标，再通过推理计算得出点的坐标与变量无关，体现一般到特殊的推理过程.关于第（2）问，求解平面多边形面积问题关键在于寻底找高，通过引进合适的变量，构建关于面积的函数模型，并结合函数单调性、均值不等式进行最值（范围）的求解.

第（1）问解法一（先特殊后一般）：设[A（x1，x212）]，[B（x2，x222）]，[x1≠x2]，特殊地，当点D的坐标为（[0，-12]），AB直线方程为[x=12]，不妨设AB直线过定点[F（0，12）]，则kAE=kBE，即[x212-12x1-0=x222-12x2-0]，即x1x2=-1.又[y=x22]，所以[y′=x]，则[kDA=x1]，则[x1=x212+12x1-t]，整理得[x21-2tx1-1=0]，同理[x22-2tx2-1=0]，所以[x1，x2]是方程[x2-]2tx-1=0的两根，则[x1x2=-1]，显然符合kAF=kBF，即AB直线过定点[F（0，12）].

第（1）问解法二（先一般后特殊）：设[D（t，-12）]，[A（x1，][y1）]，[B（x2，y2）]，且[y1=x212]，又[y1=x22]，所以[y′=x]，则[kDA=x1]，[x1=y1+12x1-t]，整理得[2tx1-2y1+1=0]，同理[2tx2-2y2+1=0]，故直线[AB]方程为[2tx-2y+1=0]，当[2x=0-2y+1=0]时等式恒成立，所以直线[AB]过定点[（0，-12）].

第（2）问解法一：由（1）知直线[AB]的方程为[y=tx+][12]，由[y=tx+12y=x22]可得[x2-2tx-1=0]，则[x1+x2=2t，x1x2=][-1，][y1+y2=t（x1+x2）+1=2t2+1]，[AB=1+t2x1-x2=][（x1+x2）2-4x1x2=2][（t2+1）].设[d1，d2]分别为[D，E]点到直线[AB]的距离，则[d1=t2+1]，[d2=2t2+1].因此，[SADBE=12AB][（d1+d2）=（t2+3）t2+1].

设[C]为线段[AB]的中点，则[C（t，t2+12）].由于[EC⊥][AB]，而[EC]=（t，t2-2），且[AB]与向量（1，t）平行，所以t+t（t2-2）=0，解得t=0或t=±1.当t=0时，SADBE=3;当t=±1时，SADBE=4[2].因此，四边形ADBE的面积为3或4[2].

第（2）问解法二：由（1）知直线AB的方程为[y=tx+][12]，当[t=0]时，[D（0，-12），A（-1，12），B（1，12）]，则[SADBE=12×][1×2+12×2×2]=3;当t≠0时，设AB中点C（x0，y0），F（0，[12]），联立方程[y=tx+12y=x22]得[x2-2tx-1=0]，所以[x1+x2=][2t]，[x1x2=-1]，[Δ>0]，所以[x0=x1+x22=t]，[y0=t2+12]①.此时直线EG方程为[y-y0=-1t]（x-x0），结合①得y=[-1tx+32+][t2]，由于过点（0，[52]），则t2=1，即t=±1.当t=1时，[AB=][AF+BF]=y1+y2+1=x1+x2+2=4，点D，E到直线AB的距离d1=d2=[2]，所以SADBE=4[2];同理t=-1时，SADBE=4[2].因此，四边形ADBE的面积为3或4[2].

小结：本题对考生的推理计算能力的要求较高，既重视思想方法，特别是函数方程、等价转化等的思维，也重视计算，繁杂、冗长的计算依然是考生答题的难点.而且导数作为工具性知识渗透在本题的求解过程中，释放出两个信号：一是高等几何知识的结论、思想、方法的渗透与融合，是能力立意下高考命题的趋势;二是淡化解析几何问题求解的固定解题程序，即“联立直线Ax+By+C=0与二次曲线方程f（x，y）=0→消元得到关于x（或[y]）的一元二次方程→利用根与系数的关系（设而不求）”，突出解析几何的学科本质——解析法（坐标法），重点考查数形结合思想与运算求解能力.解析几何高考试题往往有很大的拓展空间和研究价值，在本题条件中，过抛物线[x2=2py]焦点的斜率为[k]的直线与抛物线交于A，B两点，那么在两点处的切线一定交于准线上一点，且交点坐标为（kp，[-p2]）.

2.学科融合

今年的试题有了努力消弥学科边界的尝试，整合数学与其他学科，打破以往泾渭分明的学科分界，使考生形成相互联系的知识结构，使数学不再停留在“自我的世界”，而是作为一种思想、方法或模型而存在，用于解释生活中的问题或现象.

如文科数学第3题：两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（  ）.给出的选项是：（A）[16]，（B）[14]，（C）[13]，（D）[12].

试题分析：如果借助理科的排列组合知识来分析，本题其实就是相邻问题，可用捆绑法解决，全排共[A44=24]种方法，两位女生相邻共[A22]·[A33]=12种方法，概率[P=1224=12]，故选D.

小结：新高考已经在全国范围逐步推进，文科生需要具备排列组合的知识和方法，才能解决相对复杂的计数问题，即文科理科化，而理科生也需要具备一定的人文知识，即理科文科化.

又如理科数学第3题以中国“四大名著”的阅读调查数据为背景设计考题，既考查了抽样统计的方法，又渗透了数据处理和数学运算的素养要求，同时对考生提出了养成终生阅读好习惯的要求，体现了对阅读的重视.

再如文、理同题的第16题：考生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为    g.

试题分析：因为SEFGH=4×6-4×[12]×2×3=12cm2，所以VO-EFGH=[13]×12×3=12cm3.又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144cm3，所以该模型体积为V=V2-V1=144-12=132cm2，其质量为0.9×132=118.8g.

小结：该题体现了对考生“劳育”的渗透，同时将数学中的体积问题与物理质量问题相结合，体现不同学科的融合.

再如文、理同题的第17题：为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩爾浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.07.（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值;（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

试题分析：（1）由题得[a]+0.20+0.15=0.70，解得[a]=0.35，由0.05+[b]+0.15=1-P（C）=1-0.70，解得[b]=0.10.（2）由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15×2+0.20×3+0.30×4+0.20×5+0.10×6+0.05×7=4.05，乙离子残留百分比的平均值为0.05×3+0.10×4+0.15×5+0.35×6+0.20×7+0.15×8=6.

小结：这道题以离子在生物体内的残留情况为背景，反映了数学知识和方法在其他学科中的应用，体现了数学的应用价值.

2019年高考全国Ⅲ卷理、文科数学试题立足教材，紧扣《2019考纲》，注重基础知识、基本技能的考查，突出考查主干知识、核心能力，强调数学思想和通解通法的培养，同时试题设计稳中求新，为新高考的推进作铺垫.试题在保持结构总体稳定的基础上，科学灵活地调整了试题的内容和顺序.例如文、理同题的第17题，其内容调整为以频率分布直方图为背景求解样本平均数等数字特征的概率统计，考查了数据分析和处理的能力，降低了概率统计的难度要求，与全国Ⅰ卷近两年来把概率统计往后移甚至以压轴题的形式出现，形成了强烈反差，对有押题、猜题想法的师生敲响了警钟;理、文同题的第18题内容调整为已知三角形一边和邻角求锐角三角形面积的取值范围，题型常规但运算量、思维容量大，考验了考生的应变能力和心理素质.这两题是“难题不难，易题不易”，要求考生全面掌握重点知识和重点内容，部分考生在考试中发挥失常，说明考生缺乏灵活应变的能力和主动调整适应的能力.

二、2020年高考备考建议

（一）构建知识网络，立足基础，回归教材，探索科学的备考策略

很多高考试题的命制，源于课本且高于课本.所以高三第一轮复习，应立足基础知识，多关注概念、知识的发生与发展过程，多归纳总结通性通法，回归教材上的典型例题、习题，在教学中注重对考生进行启发、引导，让考生的思维缺陷得以暴露或进行“相异构想”，努力通过变换问题情境和设问方式来突破思维定势.只有这样才能帮助考生构建好系统的知识网络，提高解题的应变能力.那么在高考备考复习过程中，该如何帮助考生构建好系统的知识网络呢？具体的流程是“考查问题（大）→若干小问题→若干具体问题”.以数列的知识网络构建为例（如下图）：

构建知识网络需要问题来支撑，关于问题的设计需要做到以下三点：

一是“选好题”.课前对复习资料上的例题、习题以及近5年高考试题进行评价分析，删去偏难、偏怪、超纲、解法太单一的题目，多选“活，联，变”题，加强中低档题和“小，灵，通”题目的训练.

二是“讲好题”.在讲解中、低档例题时关注“三个点”——入手点、关键点、警戒点，做到“巧算与硬算并重，主干与细节并重，重点与非重点并重”.

三是“悟好题”.引导考生重视解题思路的探求与优化，加强反思，通过“悟一悟”的方式提升考生分析问题、解决问题的思维能力.

总之，第一轮复习要回归教材，以高考试题的考查为导向，充分研究教材上的典型习题、例题的内涵与外延，构建好知识网络.

（二）强化限时训练，提高运算的精确性与准确性

运算能力包括分析运算条件、探索运算方向、选择运算方法、确定运算程序等一系列思维能力，以及在实施运算过程中遇到运算困难时调整运算方法的能力.对于部分考生而言，由于运算能力较弱，常常会因为答题不规范造成“会而不对”，或者由于答题速度和准确度不高、思维不严密造成“对而不全”.比如今年高考全国Ⅲ卷理、文同题的第18题第（2）问求解三角形面积取值范围，大量考生通过余弦定理去转化条件“已知三角形一边及邻角”进而构建面积模型，而没有选择正弦定理，这是解题精确度不高的表现.部分考生虽然构建出了三角形面积的函数模型[S△ABC=14tanC+38]，但因为审题不细没有关注到“锐角三角形”这个条件而导致面积范围错误.这些都是限时训练缺乏针对性、有效性、科学性所致，且说明考生没有养成良好的解题习惯，比如考虑不周密、运算不准确、书写不规范、作图不标准、卷面不整洁等，而且不能做到每个步骤都“言之有理”.这些问题只有通过强化限时训练，指导考生在规定的时间内学会分析问题，掌握科学、有效的考试方法和技巧，强化运算能力，提高心理素质，发现存在的问题并及时解决，提高应试技巧，才能得以很好解决.

（三）立足数学核心素养，突出关键能力，注重思维能力与创新意识的培养

数学核心素养包括数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模、直观想象、数据分析6个方面.核心素养的培养离不开数学学科的基础知识与基本技能，它需要在学习数学知识的过程中、在掌握数学思想方法的过程中，逐步积累、领悟、内省才能形成.所以教学活动的开展必须紧紧围绕数学学科的特征和考生的认知规律.

首先，高三数学复习课的教学设计需要以考生思维能力的培养为目标，以考生经历数学知识的发生发展过程为手段，启发与引导考生学会用数学的眼光去观察问题、分析问题、解决问题，培养考生“别人‘点，心有灵犀一点通;自己‘悟，融合贯通;动手‘做”，触类旁通;自主‘学，无师自通”等多元化的能力.

其次，高三数学复习课的课堂生成需要以提升考生的逻辑推理与归纳、数学阅读与表达、批判质疑与交流合作等关键能力为导向，鼓励考生积极参与、探索，独立思考，各抒己见，通过对问题的变式探究、交流、讨论，跳出标准答案的窠臼，尝试一题多解、多题一解.

（四）研究高考命题特点，探索科学备考策略

首先，要认真研究学科课程标准、考试大纲及说明，重视其中与往年不一样的地方，比如哪些内容淡化了要求、哪些地方提高了要求等，通过逐一进行对比研究，精准把握2020年的高考基本要求.例如，由于课程改革的需要，三视图、线性规划的考查就没有出现在今年的3套理科数学试卷里，只有全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷的文科数学试题中还保留了线性规划的内容，这与课程标准及考试说明中要逐步淡化这两个内容的要求一致.

又如关于立体几何的高三备考，过去一直都过于突出坐标法的结果，而弱化了考生空间想象能力的考查，于是今年就出现了全国Ⅲ卷理科数学第8、16、21题这些以考查考生空间想象能力为主的试题，其中空间位置关系的判断、积的计算、四点共面的证明是考查重点.

不过，考查形式更灵活的球与多面体相关的计算题今年并未出现，这应该引起注意.另外，过去一直突出概率统计中的统计分析，今年却出现了“频率分布直方图”求平均数的问题;过去强调与[ex，lnx]有关的函数结构，今年却出现了“三次函数”为背景的导数问题.可见，高考试题是不断变化的，但靠近数学本质、考查关键能力和核心素养的宗旨不会改变.

其次，要研究最近5年的三套全国卷高考真题.高考题是备考的风向标，具有明确的指导性和重要的示范性.因此，各高中学校需要举备考团队全体同仁之力，重点研究试题的考点、试题的类型、试题的立意、试题的解法、试题的内涵与外延，并结合背景实质、命题思路、教材联系、数学文化等多个角度进行全方位的研究，把握高考命题的方向，轻其所轻、重其所重，才能让高考备考更有针对性与实效性.（题图左为徐华，右为文尚平）

注：本文系广西教育科学“十三五”规划2017年度廣西考试招生研究专项课题“基于核心素养的有效性评价的研究”（立项编号：2017ZKS016）的阶段研究成果.

（责编 蒙秀溪）