基于数学计算的一种专用服装模型分析

李晓宁

摘要：本文通过对数学进行一定的模拟与仿真算法，针对高温防护服的特点进行分析，并结合热力学的相应知识，得到了高温防护服的温度分布模型，并使用有限差分方法来求出该分布模型。针对材料厚度进行最优算法分析，使用拉格朗日乘子法将优化问题转换成无约束的优化问题，在其中使用遗传算法来搜索最优的解。

关键词： 热方程 制约条件 遗传算法

1 背景概述

在高温环境下工作時，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。

为设计专用服装，在进行理论设计分析中，需要将体内温度控制在37?C的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，得通过建立数学模型来计算得到满足不同条件下的最优厚度，并求出相应的温度分布进行有关算法的求解与论述。

2 相关分析

2.1 求解特定条件下的服装温度的分布

对服装温度进行建模，由于该模型涉及到温度传导，故用了热力学传导方程。因为服装具有四层不同属性的层，因此建立了四个一维偏微分方程。热力学传导方程的求解，需要确定边界条件，初始条件，将环境温度设置成边界条件，将初始温度设置成与人体体温相同的温度。最后，通过有限差分方法来完成对偏微分方程的求解。

由于II层的厚度不固定，因此将引入一个决策变量来表示该层的厚度。根据偏微分方程可以得到人皮肤外侧的温度是一个与时间，II层厚度有关的一个函数。需要在该函数满足特定的条件下，求得最优的厚度，这是一个具有约束条件的最优化问题，为此使用拉格朗日乘子法，使该问题变成一个无约束优化问题。最后，使用遗传算法来对该最优化问题进行求解，从而得到最优的厚度。

2.2 使用有限差分方法求解热力学方程

有限差分方法的思想如下： 基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点 构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点; 把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似：把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

最后可以使用遗传算法来最优化II层厚度

有上式式子的结果与运算技巧以及所得有关参数的矩阵

2.3 遗传算法部分

遗传算法（Genetic Algorithm， GA）是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。遗传算法的基础过程如下：

初始化：设置最大迭代进化次数T，随机生成M个个体作为初始种群P（0）;

个体评价：计算当前种群P（t）中的个体适应度;

选择：在个体评价之后，对群体进行选择操作目的是将优秀个体的基因通过组合配对交叉遗传到下一代种群中;

交叉：遗传算法中的核心部分;

变异：在个体基因的基础上进行变动，模拟自然界的基因突变，其变异结果的好坏不定;

3 模型的误差分析与灵敏度分析

因为问题一中给出了真实的数据，因此将通过对仿真的结果与真实数据进行对比做误差分析。问题一中给出了一个90分钟的温度变化表，通过将该表与我们生成的数据放入在同一张图里面进行对比，如图六所示

从图中可以看出，两条曲线在刚开始的时候趋势十分接近，但是随着时间的推进误差趋于稳定。通过曲线对比最后部分的数据，可以得到仿真曲线与真实曲线相差为0.8度左右，是一个比较理想的误差范围。

总之，虽然仿真的模型具有一定的误差，但是可以反映真实曲线的趋势，因此体现了模型的合理性与正确性。

4 结语

本文中所设计的模型具有很好的通用性及其鲁棒性。尤其是针对目前的高温服装设计具有很强的实用性，还可以适用于许多热力学传导方程的模型。若将本模型应用到科学实验领域与生活领域，将能够解决许多问题。

参考文献

[1] 宋来忠，王志明.数学建模与实验.北京：科学出版社，2005.

[2] 王正东.数学软件与数学实验.北京：科学出版社，2010.

[3] 赵静，但琦，数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社，2008.

[4] 楼顺天，姚若玉，沈俊霞.MATLAB7.x 程序设计语言.西安：西安电子科技大

学出版社，2008.

[5] 曹钢，王桂珍，任晓荣.一维热传导方程的基本解.山东轻工业学院学报，2005

[6] 费浦生 羿旭明 数学建模及其基础知识详解 武汉大学出版社，2006.5