思悟数学的教学探索*——以“函数”教学为例

庞彦福

思悟数学，思什么？悟什么？当下，很多的数学教学成了“解题教学”，数学学习变成了“做题目”。学生做了很多数学题，但学生对数学的认识与理解并未水涨船高，学生的数学学科素养并未得到提升。面对如此的教学，学生的作业、考试的试卷必然出现这样那样的问题或错误。不少学生、家长乃至有的教师把学生本不该出现的问题与错误当成了“失误”。其实这种“失误”是严重的错误，是缺少理性思考的错误，是对数学知识没能理解的“失误”。要减少或克服这种“失误”，需要的是对数学内容的深度思考、理解与体悟，故笔者简称为“思悟数学”。思，要思是什么，为什么是什么，为什么不是什么；悟，要悟过程，悟规律，悟原理，悟本质。

“函数”是中学数学的重要内容，是数学中最重要的基本概念之一，同时也是学生普遍感到难学、难懂，教师普遍认为难教的内容。“函数”在苏科版教科书中属于八年级上册内容，第一节“函数”内容主要涉及常量、变量以及函数的定义。鉴于函数定义的抽象性，而且又是初中阶段重要的数学内容，是基本的数学概念，笔者将“函数”的教学价值，定位于：厘清函数概念，让学生思悟“什么是函数”“函数是什么”，同时将“体悟世间万物的‘变’与‘不变’”以及“领悟‘对应’的内涵”作为本节课的教育价值。

一、教学理解

1.概念本质。

高屋建瓴地弄清数学概念的“外部”关系，精确地把握数学概念的“内部”结构［1］，是数学教学有望获得最佳效果的根本保证。何谓“概念”？“概”，古代一种量具用词，表示对古代量具“斛”的满量状态做出校准，就是大略、总体或概括；念，就是想法、看法或观点。概念就是人们对于一件事情或某种现象的大概总括的认识，是反映并确定客观对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，进而形成概念。

概念是思维的基本单位，数学概念是人类智慧的结晶，是数学逻辑的起点，是学生认知的基础，是数学教学的核心，概念教学是中学数学教学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的关键，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念也是学好数学最重要的一环。数学概念的形成是由特殊到一般、由具体到抽象的过程。如果仅靠记忆的方法学习数学概念，是难以理解其本质的。

2.函数概念。

世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要的具有普遍意义的数学模型，其概念是从现实情境的具体问题抽象出来的：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。我们剖析函数概念的本质，可以知道函数既来源于实际需要，又是数学自身发展的需要，是由常量数学过渡到变量数学的标志。理解函数概念应厘清：它是一个变化过程；它存在两个变量；它是一种唯一对应关系（即“单值对应”）。这种“联系变化和单值对应”［2］就是函数概念的本质特征——函数不是数，而是一种对应关系。

理解函数之前的铺垫应是适当的、自然的。对于所设置的问题情境，要体现“两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应”。还要让学生明白：“常量和变量是相对变化过程而言的，有时可以相互转化；如在s=vt 中，若s 一定，则v、t是变量，若v 一定，则s、t 就是变量。”

认识和理解函数的概念需要一个过程。佛教中的“看山是山，看水是水”，可以看作是对函数概念学习过程的朦胧认识，是“闻而信之”的过程；“看山不是山，看水不是水”，是“学后辨之”的过程，但仍是云里雾里的；“看山仍然山，看水仍然是水”，是指通过辨析理解内化之后到了能够“举一反三”的层次。认识和理解函数概念应遵循“循序渐进”“螺旋上升”的原则。［3］

二、教学实施

1.从已有知识中回顾。

初中数学的学习过程中，函数内容出现之前，已有了函数思想的影子。课堂上，教师不妨通过回顾、对话的方式唤醒知识，唤醒学生。在导入新课的过程中，从已经学过的知识入手，寻找与函数思想相关联的知识，进而为新知识学习进行铺垫，营造学习、探究的良好氛围，实现“学”“思”“悟”的润物细无声。

师：七年级上册“3.1 用字母表示数”，譬如字母x 表示某班级的人数，其实x 是变化的，是不确定的，但是它又是确定的，这已经是函数思想的萌芽。大家想想：我们学过的内容里还有哪些知识能够体现函数思想？

生1：“3.3 代数式的值”中，在一个代数式中，当字母取值变化时，代数式的值也随之而变化，若给字母一个值时，代数式的值也随之确定，这应该是能够体现函数思想的。

生2：二元一次方程中，比如2x-y=5，如果写成y=2x-5，y 就会随着x 的变化而变化，又随着x 的确定而确定，从变量的角度来看就是函数。

师：同学们的思考是正确的，很有价值，这些充分说明，函数思想不仅体现在函数概念学习之后，在学习函数概念之前，早已存在于我们学习过的内容里。

事实上，函数统领着代数式、方程、不等式，函数解析式中“=”的一侧通常就是以代数式的形式呈现，用未知数的观点看函数关系就是方程，不等式就是两个函数之间关系的表示。八年级下册要学习的“分式”一章中，探索分式有意义的条件相当于探索自变量的取值范围，探索分式值为零的条件相当于已知函数值求自变量x 的值。因此，我们在函数教学的前和后，都应渗透函数联系、变化与对应的本质，使函数概念的理解与内涵贯穿于整个函数内容的全过程，用函数的观点来审视有关函数内容。

在后续学习一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二次函数及锐角三角函数概念时，切忌出现“忘根”现象［4］，而是应该随着这些特殊函数的学习，进一步丰富和充盈函数概念，并将其内化和深化，使已有的函数概念推进一次函数、反比例函数、二次函数及锐角三角函数概念的教学。

2.从实际问题中抽象。

教科书中安排了丰富的可选用问题情境和学习资源，另外《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称“2011 年版课标”）中的3 个例子对认识和理解函数概念是具有普遍意义的。［4］

【例1】小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900 米的报亭，母亲随即按原速度返回。父亲在报亭看了10 分报纸后，用15 分返回家。图1 中哪一个表示父亲离家后距离与时间之间的关系？哪一个表示母亲离家后距离与时间之间的关系？

图1

生1：图（2）表示的是母亲离家后距离与时间之间的关系，清楚地看出从家到报亭与回来都是20 分走了900 米，速度一样；图（4）表示的是父亲离家后距离与时间之间的关系，出去用20 分走了900 米，在报亭看报10 分，回来用了15 分。

师：对于图（1）和图（3）怎么解释呢？

生2：观察图形可以看出：图（3）出去走了900 米用的时间是30 分，时间不对；图（1）中从20 分～40 分，是20 分，而爸爸是看了10 分报纸，时间也不对，而且回来的时间不明了。

师：分析得很好，体现出了“距离”随“时间”“变化而变化”“确定而确定”的变化及对应关系，厘清了问题中的函数关系。

【例2】某书定价8 元。如果一次购买10 本以上，超过10 本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。

师：同学们，该怎样表示这种函数关系呢？

生1：可以列表格：

?

师：如果设购书数量为x 本，付款金额为y元，那么怎样表示这种函数关系呢？

生2：当x＜10 时，y=8x；当x＞10 时，y=8×10+6.4（x-10）=6.4x+16；当x=10 时，y=80。

生3：也可以把x＜10 和x=10 放在一起，即当x≤10 时，y=8x；当x＞10 时，y=6.4x+16。

师：完全可以，更简捷一些。随着学习的不断深入，这种函数关系，可以列成表格，可以写出变化的关系式，还可以画出函数的图象，大家可以比较、辨别，从而选择适宜的方式进行表达。

【例3】甲乙两地相距20 千米。小明上午8：30 骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 千米/时；小丽上午10：00 坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 千米/时。分别表示两个人所用时间与距离的函数关系，并回答谁先到达乙地。

……（因版面所限，教学过程略）

2011 年版课标是教材编写的依据，是教学的纲领性文件，教师多研读它才能更好地理解教材、理解学生及理解教学。以上3 个例子都是从数量的角度反映变化规律和对应关系，它们的共同特征：（1）是一个变化过程；（2）都有两个变量，而且变量之间是相互联系的，一个变量的变化会引起另一个量的相应变化；（3）其中的一个变量取一个确定的值，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应（即“单值对应”）。这些恰好体现了函数思想的本质。

3.从变与不变中探寻。

函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。［5］例1 和例3 的两个变量中，都蕴含着“一个量随另一个量的变化而变化”。所揭示函数概念的本质是：两个变量之间的一种特殊的对应关系。函数概念所反映的基本思想是：运动变化。用函数概念建立模型，研究客观现实的变化规律的基本方法是：用数量关系表示变量之间的依赖关系，并通过数及其运算等去研究变化规律。函数的变化规律与对应关系具有三个显著特征（即核心思想）：（1）自变量的取值是有意义的（譬如实数或者是某个范围）；（2）因变量（即函数值）的取值是唯一的；（3）必须借助数字以外的符号来表示函数。从后续学习中容易知道，关于符号的表达，也就是解析式、图象以及列表。

函数与方程、不等式是从不同角度刻画变量之间的数量关系，它们之间既有关联又有本质的区别。例如y=2x-3，是一个函数。若令y=0，表面上看，y=0 与2x=3 是等价的，但是，二者表达的意义是不同的，y=0 表示函数的值为0，而2x=3 表示的是变量之间的等量关系。同样，y＞0与2x＞3 表达的意义也是不同的。

4.从辨析过程中内化。

概念的应用是概念学习的最高层次，对函数概念的理解往往需要借助于具体的例子。当教学中通过现实中的事例抽象出函数定义之后，不妨让学生举（编）例子来内化对函数概念的理解。

师：既然同学们知道了什么是函数，请大家列举出你理解的熟悉的函数来。

生1：上周末，我们家出去玩，爸爸给汽车加油时，我观察加油表上的数字，油价是7.13元/升，加油过程中的金额w（元）与加油量x（升）之间可以表示为w=7.13x，金额w 与油量x就是函数关系。

师：在加油的变化过程中，有两个变量——加油量x 与金额w，且变量x 与w 之间是相互联系的，一个变量的变化会引起另一个量的相应变化，当一个变量取一个确定的值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应，的确是函数，很好。

图2

图3

师：的确是函数关系，很好。

师：同学们能举出不是函数的例子吗？

生3：对于变量x，y，若y2=x，当x=4 时，y 有2 和-2 两个值，不是唯一的，所以y2=x 不是函数。同样|y|＝x 也不是函数。

生4（多次举手）：我画的是图形，图2 的图象表示的不是函数。

师：这个图象怎么不是函数呢？能说得具体些吗？

生4：如图3，设l1、l2都是和x 轴垂直的直线，从l1与图象的交点看，当x 取定一个数值时，y 有唯一的值与之对应；但是从l2与图象的交点看，当x 取定一个数值时，y 有3 个值，已经不是单值对应，当然就不是函数了。

师：很好，一个好的反例的确很有杀伤力。

……

三、教学反思

函数概念是初中数学重要的基础课，基础课就是种子，是胚胎，是生长，是成长，是发展，是光源，是方向，是引领。数学学习要做到“认识本真、体悟本质、增长智慧”，就必须让学生“思”让学生“悟”。函数概念本来就是难啃的硬骨头，如果不给学生思悟的空间和时间，就算教师备课时设计出了“高思维度”的有效素材，也难以使教学有效。只有激发学生学习的兴趣，引发学生思考，才能让学生进入深度学习的状态。

函数是研究运动变化的重要数学模型，初中阶段，函数定义是一种“变量说”（或“变化说”），到了高中，采用的对应、映射，故是一种“对应说”。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”为什么会感觉云山雾罩的？因为还在半山腰，当到了顶峰，便是“会当凌绝顶，一览众山小”。函数概念的学习正是这样的经历过程。

高中阶段对函数的定义一般是：“一般地，设A、B 都是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。”所以说，高中数学凸显的是“对应”。其实，高中函数定义的“对应说”这与初中阶段研究函数的“变量说”并不矛盾，而是一致的。大千世界中唯一不变的就是“变”。函数凸显的是“变”，但本质是“对应”。［6］

函数中从“特殊到一般”的思想、建立模型的思想、运动变化的思想以及数形结合的思想等是数学中常用的思想方法与技巧，学习中，应慢慢体味。“从辨析过程中内化”环节，让学生根据自己的经验和理解举例子的过程，是学生加深理解与内化的过程，俗话说“一个好例子胜过一千条说教”就是这个道理。认识函数、理解函数，是一个循序渐进、螺旋上升的过程。当然，教师教学更应螺旋式设计、生长式实施、递进式追问。递进式追问还应注意基础性、层次性以及适宜性。教学过程中，要给学生“想”的空间，“悟”的时间，“润”的氛围，让思悟数学落地生根。