文石爱英
(作者单位:山东省东营市胜利第六中学)
有关圆的最值问题,在中考中常常以选择、填空的形式出现,这类试题“小而精”,但涉及的知识面广,综合性强。很多同学对解决这类问题常会感到束手无策。本文以常见的几种类型入手,带大家一起感悟解决这类问题的思路和方法。
例1 (2019·嘉兴)如图1,在⊙O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于D点,则CD的最大值为_______。
图1
【分析】首先连接OD,因为OC⊥CD,根据勾股定理得CD2=OD2-OC2,因为OD是定值,所以当OC最小时,CD取到最大值。
解:连接OD,∴OC⊥CD,
根据勾股定理,有CD2=OD2-OC2,
∵OD是定值,
∴当OC最小时,CD最大,此时D与B重合,
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理,难度适中。掌握辅助线的作法,得到当OC⊥AB时,OC最短是关键。
例2 如图的直径是AB上一动点,则CM+DM的最小值是cm。
图2
【分析】如图3,作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB相交于点M,根据轴对称确定最短路线问题,点M为CM+DM最小时的位置,根据垂径定理可得然后求出C′D为直径,从而得解。
解:作C关于AB的对称点C′,连接C′D,与AB相交于点M,如图3,此时,点M为CM+DM最小时的位置,由垂径定理得
图3
∴C′D为直径,
∴CM+DM的最小值是8cm。
【点评】本题考查了用轴对称确定最短路线问题、垂径定理,熟记定理并作出图形,判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键。
例3 如图4,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),点P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90°,则a的最大值是___。
图4
【分析】首先得到AB=AC=a,根据条件可知PA=AB=AC=a,求出⊙D上的点P到点A的最大距离即可解决问题。
解:∵A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),
∴AB=1-(1-a)=a,CA=a+1-1=a,
∴AB=AC,连接PA。
∵∠BPC=90°,
∴PA=AB=AC=a,
如图4,延长AD交⊙D于P′,此时AP′最大,
∵A(1,0),D(4,4),
∴AD=5,
∴AP′=5+1=6,
∴a的最大值为6。
故填6。
【点评】本题重点考查了与圆有关的位置关系,抓住“过圆心与某点连接的直线的交点构成极值”是解决问题的关键。
例4 问题提出:如图5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,连接AP、BP,求AP+的最小值。
图5
尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路。
如图6,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,
又∵∠PCD=∠BCP,
∴△PCD∽△BCP,
图6
图7
【分析】尝试解决:连接AD,AP+最短为
图8
拓展延伸:延长OA到点E,使CE=6,连接PE、OP,可证△OAP∽△OPE,得到 EP=2PA,得到 2PA+PB=EP+PB,当E、P、B三点共线时,得到EP+PB最小值。
图9
解:
又∵∠PCD=∠ACP,
∴△PCD∽△ACP,
∴EP=2PA,
∴2PA+PB=EP+PB,
【点评】本题是一道综合题,重点考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、极值的确定,还考查了同学们的阅读理解能力,解本题的关键是根据材料构造出△PCD∽△ACP和△OAP∽△OPE,这也是解决本题的难点。