2019年高考全国卷Ⅰ（理）第21题的分析与命题建议

☉合肥市教育科学教研院 许晓天

2019 年全国卷Ⅰ数学试卷给我们一线教师带来了太多的信息与启示，引导着广大教师基于新课标的教学.作为压轴题的理科21 题，难倒了广大考生（据了解，很少有考生做全对），对题意的理解也难倒了很多教师.以下就此21 题，谈谈个人的理解及高考命题的建议，供广大教师与命题专家参考.

一、试题分析

（一）试题呈现

题目（2019 全国卷Ⅰ理科21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮治疗结果得出后，再进行下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α、β，一轮试验中甲药的得分记为X.

（1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.假设α=0.5、β=0.8.

①证明：{pi+1-pi}（i=0，1，…，7）为等比数列；

②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

（二）试题解答

解：（1）X 的所有可能取值为-1，0，1.

P（X=-1）=（1-α）β；

P（X=0）=αβ+（1-α）（1-β）；

P（X=1）=α（1-β）.

又若p1-p0=0，则p0=p1=…=p8，与p0=0，p8=1 矛盾，故p1-p0=p1≠0.

故数列{pi+1-pi}（i=0，1，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列.

②由①得：

p4表示最终认为甲药更有效的概率.此数据说明：甲累计得4 分的概率极小；又甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8，0.5＜0.8，说明得出错误结论的概率非常小，说明此试验方案合理.

（三）试题理解

从此题的解答过程可以看出，问题的解答不复杂.因为命题专家考虑到学生对概率统计的知识储备和能力因素，第二问直接给了数列的二阶递推式，由于考生对裂项求和还是很熟悉的，所以只要考生冷静地思考，顺着问题的要求做，这一题解决的可能性较大.但仔细研读此题，发现很多地方学生不明白，甚至教师也难以把控.下面就此题中的难以理解的地方，谈谈自己的理解.

1.“若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分”的理解

在试验开始时，一般赋分从0 分开始，那么此题为什么从4 分开始，也不是其他分数呢？因为试验方案中有这样一句话：“当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.”并约定：“对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分.”又pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率.习惯上，甲药的累计得分i 往往是从0 开始的非负整数，如果试验开始时赋0 分，则此时累计得分的随机变量i的取值为-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，出现了负整数；若赋其他分，则累计得分i 可能出现负整数和正整数为最小数，只有赋4 分，随机变量i 正好从0 开始.更重要的是，此时事件“甲药的累计得分为0 时，最终认为甲药比乙药更有效”表示：进行多次试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠恰好多4 只，停止试验，并认为甲药比乙药更有效”，而非事件“没有进行实验，认为甲药比乙药更有效”，所以试验开始时赋4 分，更具实际和试验意义.最后说一下，在试验开始时要赋“相同”的4 分，是为了试验的“公平性”.

2.“p0=0，p8=1”的理解

题目中：“试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮治疗结果得出后，再进行下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.”

由1 的分析可知：因为开始时甲乙都是4 分，甲药的累计得分为0 时，即乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠恰好多4 只，停止试验，认为乙药更有效.此时，乙药累计得8 分，甲药累计得0 分，故乙药比甲药更有效的概率为1，甲药比乙药更有效的概率为0，故p0=0；同理，甲药的累计得分为8 时，甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠恰好多4 只，停止试验，此时认为甲药更有效，甲药比乙药更有效的概率为1，故p8=1，乙药比甲药更有效的概率为0.

3.“pi（i=0，1，…，8）表示‘甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效’的概率”及“求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性”的理解

从pi的含义可以看出：“甲药的累计得分为i”中“累计得分”意思是：经过多次试验后，甲药的当前得分为i.而pi是指：甲药的当前累计得分为i，并最终认为甲药比乙药更有效的概率.但不是说试验此时停止，试验仍可以继续进行下去，只有到当甲药比乙药治愈的白鼠数恰好多4 只，试验停止.因为i=0，1，2，…，8，所以仅当i 为0，8 时，试验停止.因此，pi的值不论试验进行与不进行，都是不变的.

当i=4 时，p4表示：经过多次试验后，甲药累计得分为4 时，最终认为甲获胜的概率.因为甲得分为4，得出乙的得分也是4，与试验前的赋值相同.因此，试验没有停止，仍然要继续进行试验.但为了公平，从试验前最初公平的赋4 分，经过多次试验后甲药与乙药得分相同，都为4 分，回到试验前相同的赋分，应该说：p4最能够说明甲药与乙药的治愈效果.试验从假设甲药更有效出发，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8 的前提下，求甲药获胜的概率.如果概率非常小，也就是得到错误结论的概率趋近于零，从而否定假设.说明试验方案合理.

4.“pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…7）”的理解

可能命题专家考虑到学生的理解和建立概率模型的能力，题目直接给出了数列{pi}的二阶递推式：pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.显得此式来历不明，怎么理解此递推式呢？

由“pi”的意义知：在甲得分为i-1，i，i+1时，甲获胜的概率分别为pi-1，pi，pi+1，假设在某一轮试验后，甲的累计得分为i.由于题干中：“甲、乙两种药的治愈率分别记为α、β，一轮试验中甲药的得分记为X”，设事件A1=“X=-1”表示“甲、乙两种药的治愈率分别记为α、β，一轮试验中甲药的得分为-1”；事件A2=“X=0”表示“甲、乙两种药的治愈率分别记为α、β，一轮试验中甲药的得分为0”；事件A3=“X=1”表示“甲、乙两种药的治愈率分别记为α、β，一轮试验中甲药的得分为1”，则A1A2=A2A3=A3A1=Ø，且P（A1+A2+A3）=1.

设事件B=“X=i”表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”，则B=B（A1+A2+A3）=BA1+BA2+BA3.

又A1A2=A2A3=A3A1=Ø，

所以（BA1）（BA2）=（BA2）（BA3）=（BA3）（BA1）=Ø，

所以P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=api-1+bpi+cpi+1.

二、试题特色

从“为治疗某种疾病”的问题情景出发，不仅体现了“为人民服务”的“初心”，而且是与学生息息相关的“真情景”；强调了数学与“化学”、“生物”等学科的综合应用；问题需要学生的阅读理解，把实际问题进行高度的数学抽象，建立合理的概率模型，考查了学生数学抽象和数学建模的核心素养；把递推数列与概率统计放在一起考查，凸显了对学生创新能力的考查.

三、命题建议

由上面的“试题特色”可知，此问题有效地考查了学生“数学抽象、数学运算、数学建模和数据分析”等核心素养，是难得的好题，对当前的高中“刷题”教学有很好的“抑制”作用，并有效地考查了“高智商”学生的能力，达到了选拔优秀人才的目的.

其实，还有一些与此题相关的问题，值得大家思考，如：两种药品也许可以各对2n（n≥1）只白鼠进行试验（n 的大小可以根据试验精度的要求和实际情况决定），甲药可以先随机抽取n 只，这样分成两组分别进行试验，看看治愈的百分比大小，试验不是更简单吗？如果药品试验必须是这样，那么有什么统计或实际要求呢？

对于如此大的信息量的问题，学生在决定自己命运的“高考”考试中，想全部理解是特别困难的，“智商”高的考生也只能够按照问题设计的思路走下去，即使做对了，也是“试题”设计的“功劳”.

对命题的一点思考：（1）由于我们教师使用的教材对概率统计部分强调了实际应用，对概念与原理部分只是做一介绍，系统性不强.因而教师与学生对这一部分的知识结构没有深刻的把握.因此，此问题的命制，尽可能命制的简单一些，降低难度，并把原理的部分尽可能讲明白.因为2017 年版新课程标准编写的新教材的系统性明显加强，待到全部实施新教材教学后，可以逐步提高此种问题的命题难度；（2）从近两年概率统计的全国卷试题中可以看出，题目背景是整个试卷重要的创新点，命题专家花了很大的“心血”，特别是今年的试题充分体现“人文关怀”，对根据概率统计原理可以推出的公式，直接给出了.解答过程，只是代数运算而已，不需要概念统计知识支撑，但反过来想，这样考概率统计的意义何在？所以，建议命题尽可能从原始数据开始，体现“抽象与提炼”，建立概率统计的模型，再通过数学运算解决问题；（3）由于概率统计问题，往往表述的文字量大，放在最后一题压轴，学生选择了放弃.其实今年21题的第一问，考生可以得一些分，可能也是命题专家的想法.但因为放在了最后，由于考生的考试时间安排和学生心理因素等，大部分选择不做此题.所以，概率统计题的位置，可以适当提前.

以上是个人对今年高考全国卷Ⅰ第21 题的思考与建议，以及个人理解，请同仁多提宝贵建议.