奇思妙想灵转化，三角求值多思维——2019年江苏卷第13题

☉湖南省长沙市实验中学 陈志广

三角函数的求值问题是每年高考中三角函数部分的常考问题之一，有时单独考查直接求值，有时与相关知识交汇考查辅助求值，有时作为一种工具过渡求值，变化多端、形式各样、常考常新，是规律不定的一类问题.三角函数的求值问题的切入点众多，解法上具有多样性，同时对逻辑推理能力与运算求解能力要求比较高，是考查综合能力和全面素养的良好载体，也是考查学生知识的掌握程度，以及思维的灵活性、多样性、拓展性的良好场所.

一、真题在线

【高考真题】（2019 年江苏卷13）已知，则的值为______.

二、多解思维

思维角度1.倍角公式转化法

思维角度2.万能公式转化法

方法2：（万能公式法）由于，整理得3tan2α-5tanα-2=0，解得tanα=或tanα=2.

点评：万能公式作为三角恒等变换中的辅助性公式，在解决一些三角函数求值问题时往往会起到“奇兵”的作用，可以非常有效地破解一些相关问题.这里结合条件可得到有关tanα的值或关系式，从而万能公式的利用就水到渠成.

思维角度3.整体代换应用法

思维角度4：平面几何法

图1

三、规律总结

三角函数求值时，由于三角函数中的相关公式较多，关系错综复杂，其有利的一面是可以多角度、多层面选择三角公式加以应用，其不利的一面是容易陷入三角函数公式无从选择的困境.因而，在进行三角函数求值时，除了要熟练掌握基本的常规方法，还要有针对性地对一些相关的其他方法有一定程度的理解，以备不时之需.