思维导图在微积分教学中的应用分析

张荣辉

（泉州师范学院继续教育学院，福建泉州 362000）

数学思维是形成学生良好认知结构的关键内容，同时也是判断学生的知识转化为能力的主要评估条件。学生在掌握科学的思维方法之后，也能深入地挖掘数学思想方法的内涵，结合教学实践过程夯实基础。当然这一过程本身也是一个系统化的学习过程，注重学生思想方法的形成和内在思维理念的掌握，并在发现问题时及时地采取处理方案。

1 数学思维与数学方法之间的联系

1.1 思维与方法

数学思维和数学方法之间既存在着明确的联系也有区别。其联系主要表现在数学规律的理性认识，同时也阐述了数学方法的理论基础与内在信息，这与人们掌握数学思想之间也关系密切。另外，数学思维和数学方法的区别则主要体现在如何表达数学对象的特征。当信息积累达到一定的程度之后，就可以对数学方法起到稳定的指导作用。换言之，任何一种数学方法都表现了不同的数学思想。无论是从理论层面还是实践角度，我们对于数学思想和数学方法的划分都不会做出明确要求，更偏向于从思维的角度展开说明分析。

而思维导图则是对思维的一种整体表达形式，是思维不断发展所体现出的自然功能。一般情况下思维导图有一个主题，通过主题进行扩展，不同的分支以不同的子主题形式表示，子主题表现的也是思维不断发展的过程。总而言之，思维导图并不单纯是一种方法，更是体现思维过程的载体，我们借助思维导图开了解思维的脉络，对思维过程进行阐述。

1.2 思维与概念

在对数学概念和数学思维进行探索的过程中也不难看出，两者之间在逻辑上有明确的先后关系，这一逻辑关系也表现的是人们的思维过程。在思维导图的绘制过程中，我们思考问题的信息与层次概念会融入其中，这些概念相互连接最终形成一个整体的思维信息。在现代的高等数学教学过程中，思维导图的作用通常显著。

2 思维导图应用的教学原则

2.1 概括性原则

概括性原则指的是将思维内容有条理地贯穿在数学知识点的教学过程中，同时将其作为数学知识体系的主要组成部分，例如将数学对象具有的属性和关系进行描述，在学习完极限的概念知识之后，就可以对极限思想的知识进行概括，便于学生从整体上了解极限思想。此外，教师还需要注意知识和方法之间的联系，将特殊性认知转化为一般性认识。一元函数的微积分和二元函数微积分的内容中都涉及了函数的连续性、微分等方面的知识，这些内容都可以通过思维导图纳入学习过程中，引导学生参与到思想总结的环节过程中，增强对于数学思想的应用意识，有利于学生更加透彻地具有问题的分析和解决的能力。

2.2 整体性原则

数学思维导图以基本的数学知识作为载体，并且在现有的教学过程基础上不断地进行渗透。受到教学内容、教学进度、授课时间等不同因素的影响，在前文中涉及的数学思想方法可能在后续的学习内容中不再出现，这会使得部分思想方法教学出现脱节，也不利于学生形成更加完善的认知结构。对此，我们应该将不同层面的知识进行整体说明，以思维导图的形式来整体化归纳，一方面体现出数学思想和方法的具体特征，另一方面形成稳定的数学思想方法教学体系[1]。

2.3 实践性原则

教学实践的过程中教师是主导，而学生是参与主体，缺少任何一方都无法保障教学过程的正常进行。而思维导图正是对数学知识认知和结果的归纳，重视的是记忆理解层面下的静态教学过程。所以，基于这一层面的思维动态发展中需要让学生形成有效的个性鲜明数学思想。例如教师在讲解完零点定理后就可以提出一个问题：桌子在不平的地面上能够平稳放置？通过这一问题建立思维导图后进行数学模型构建，并且转化为数学问题进行建模。诸如此类的数学问题都是通过实践过程来获取素材信息，在教师的合理引导之下积极地参与到数学知识发生的过程当中，通过思想提炼来指导思维活动，在教学活动中不断锻炼思维模式。

2.4 渗透性原则

渗透性原则即将一些抽象的数学思想融入具体的数学信息当中，同时也会对这些思想方法形成初步的感知与体会，在后续从理性上正确认识后从不同的问题中逐渐进行深入理解。以我们当前所使用的数学教材而言，知识体系当中都包含了显性的数学知识与隐藏的数学思想方法，尤其是涉及的定理、概念、公式等都非常精炼，也是高度抽象的结论所表现出的具体信息。如果学生无法有效地理解，就需要教师引导进行知识渗透，通过思维导图的模式来明确不同思想方法下的教学要求，在每一个问题的分析过程中有计划地把握住数学思维渗透的时间。借助日常地解决问题过程，突出和深化数学的思想方法，让问题解决的过程变得更加明确清晰，这些在现实问题的解决过程中同样会发挥显著作用[2]。

3 思维导图在微积分教学过程中的融合应用模式

3.1 思维导图引导下的微观规划设计

思维导图引导下我们可以构建一个清晰明确的知识网络，也可以更好地组织教学材料，对教学内容进行微观规划设计，以思维导图模式来表达自身的想法。例如我们在学习到导数的概念这一部分的知识时，就需要了解到不同学生的个人能力和学习基础。一般情况下学生能够掌握导数的计算方式，但并不了解导数的具体内涵。所以这一部分的教学重点就应该定位于导数概念的理解和掌握，例如图1所示的概念内容。

图1 导数概念的思维导图

具体来看教师可以从实例中突出导数的概念，并抓住特殊形式的极限，之后再进一步了解到函数的瞬时变化率。所以，思维导图进行教学微观设计可以更加有效地组织教学内容，突出教学重难点。实际的知识讲解环节不同章节内容也能以此为基础绘制出一张基本的概念图，然后随着知识点的扩散，知识点之间的联系也能使得概念图更加清晰，甚至不断地进行扩充，也是整体分析知识点结构的主要方式，思考具体的问题讲解方法和手段的相关过程[4]。

3.2 思维导图与知识网络

一般情况下教师的教学过程涉及多个方面的信息与内容，很可能出现旧知识尚未消化完全，新知识就已经出现，使得知识衔接出现矛盾。此时，教学重点也发生了改变，更加倾向于知识网络的构建，体现出不同类型知识之间的联系。所以，新的概念引入与思维导图的构建过程就可以进行规划。如通过定积分、不定积分概念图的对比就能了解到不定积分的内容应用，通过新的章节内容引入来明确知识结构，抓住学习过程的重点和难点，在后续的学习中有目的地进行优化和提高[5]。

3.3 思维导图与整理思路

课程学习中学生对于知识点的理解和掌握也能有助于他们对知识点之间的联系了解得更加透彻，在后续的复习环节中也可以通过思维导图进行整合分析，促进学生思维的培养。教学的关键在于调动学生的主观积极性，引导学生进行独立思考。我们仍然以定积分的相关知识为例，学生在学习完定积分内容之后，教师也会进行提问，如通过不定积分还能了解到哪些知识，结果也包括不定积分、定积分本质、应用等，从不同的子主题出发，通过子主题的分析来联想到其他的内容，以此为基础绘制出相关的思维导图，这也是一个思维发散的过程，让学生从多个角度、多个方面培养问题的分析和解决能力，也是创新能力培养的主要途径。

3.4 思维导图与数学建模

思维导图和数学建模之间同样密切联系，对数学原型构造数学模型的过程实际上也是对其展开的研究和解答，让问题得到重点解决。目前涉及的数学建模问题众多，包括积分法求图形面积、导数理论求最值模型等，特别是经济学当中的利润模型计算等。这些内容都应该以思维导图来进行，在了解问题的目的后提出假设，然后建立模型、修改模型，最终应用模型。从辩证角度来看，相对于部分所构成的整体是确定的部分，我们也需要在教学环节了解问题整体结构特征，有意识地展开整体化处理和研究。

4 结语

思维导图在微积分知识教学中具有重要的作用，同时在整个高等数学的范畴之内同样能发挥关键效果。在相关课程的教学过程中合理地选择思维导图的应用方式，不仅可以激发学生的学习积极性，还能保障课程的教学质量。在未来的教学实践过程中，学生能够思考到的内容更多，对于数学方法与数学思维的理解也会更加深入。虽然教材本身是由严格的概念、定理、公式所组成，但教师只要能够注重思维导图对于思维过程的引导优势，就可以关注知识的形成过程。