初中数学中蕴含的思想方法探析

王林忠

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识，而数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。数学思想和方法是数学知识的有机组成部分，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。数学思想方法的训练，是把知识型转化为能力数学的关键，是实现素质教育的的重要组成部分。初中数学教学，一方面是传授数学知识，使学生掌握必备数学基础知识;另一方面要更通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴含的数学思想方法，更好地理解数学、掌握数学，形成正确的数学观念和一定的数学意识。初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本最主要的有：数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，对应的思想和方法，整体的思想和方法，类比联想的思想方法，化归与转化的思想方法，逆向思维的思想方法等。

一、数形结合的思想和方法

数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用的重要性。“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图象结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。

（一）由形思数，数形结合，用形解决数的问题。

例如在有理数及其运算数学中利用“数轴”这一图形巩固“具有相反意义的量”的概念，了解相反数、绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。实际上，对学生来说，也只有通过数形结合，才能较好地完成本章的学习任务。

（二）有数思形，形数结合，用数解决形的问题。

例如应用函数的图像来直观地说明函数的性质。例如平面图形及其位置关系中，用数量表示线段的长度，用数量表示角的度数，利用数量的比较来进行线段的比较、角的比较等。理解抽象的数、数量关系与函数关系式不能脱离直观的图形与图象，同时对几何图形的认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状。

二、分类的思想和方法

分类讨论思想所谓分类讨论是指对于复杂的对象，为了研究的需要。根据对象本质属性的相同点和差异性，将对象区分为不同种类，通过研究各类对象的性质，从而认识整体的性质的思想方式。分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想。在教学中要使学生掌握分类的要点的方法：分类是按一定的标准进行的，分类的标准不同，分类的结果也不同;要注意分类的结果既无遗漏，也不能交叉重复;分类要逐级逐次地进行，不能越级化分，如不能把实数分为整数、分数和无理数。要使各类总和等于讨论的全集;分域的逐级性，有的问题分类后还可以在每类中继续分类。

三、对应的思想和方法

在解决实际问题中，几乎每个问题都要用到“对应”的思想方法。如每个问题与已知条件的对应，数量之间的对应变化等等。因此，让学生掌握对应的思想方法去分析问题，是提高学生解决问题能力的重要策略。

四、整体的思想和方法

整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。运用整体思想，可以理清数学学习中的思维障碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。

五、类比联想的思想和方法

在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。类比的特征是两个对象的某些属性是相同的，或者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的结论不是简单的模仿、复制，而是创造性设想。数学教学设计在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设和猜想，从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中去，促进发现新结论。

六、化归与转化的思想和方法

化归意识是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的基本解题模式，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。如有理数的减法运算是利用了相反数的概念转化为加法;学习方程和方程组时，通过逐步“消元”或“降次”的方法使“多元”转化为“一元”“、高次”转化为“低次”方程进行求解;将多边形的内角和转化为三角形的内角和进行研究等问题都是化归思想的运用，他们均采用将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化为“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法，其核心就是将有等解决问题的问题转化为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论、技术来加以处理，从而培养学生联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题。运用化归与转化的思想解题方法大体上有以下途径：一是直接转化法，二是构造法。

七、逆向思维的方法

所谓逆向思维就是把问题倒过来或从问题的方面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题。如绝对值等于2的数有几个，平方得4的数是什么，是学习的绝对值、有理数的乘方后的逆运用，还有分配律的逆用等。教学中要提高学生分析问题、解决问题的能力，克服单向思维定势导致解题方法的刻板。

数学思想和方法不仅是上述几种，这里不可能全面阐述。数学思想和方法是数学知识的有机组成部分，是数学知识的精髓，是知識转化为能力的桥梁。因此在平时的教学过程中教师应根据学生的认知水平和能力结构，充分利用教材内容对数学思想和方法反复渗透。