外协生产能力不确定下生产控制指标的研究

王海霞,马盈政

(机械工业第六设计研究院有限公司 工业与智能中心，河南 郑州 450007)

在外协生产中，协作企业提供的加工能力常常因自身计划调整和设备不可靠等因素变得不确定，使外协生产的计划与控制变得非常复杂，而控制不到位会造成缺货、积压等负面影响.这就要求对外协生产能力不确定下的相关指标进行研究，以利于生产计划和控制的顺利进行.

此前，一些学者曾对外协生产能力不确定下的生产计划与控制问题进行了广泛研究.研究主要涉及需求[1]、生产提前期[2]、机床故障与维修[3]、生产准备时间[4]、生产速度[5]等不确定性因素.相关学者将制造系统中的不确定性因素形式化，使其具有可描述性[6-7]，并在生产控制领域的不确定性控制指标研究方面取得了丰硕的成果.TAN将市场需求描述为从零到最大值的随机数，而用指数分布描述设备故障[3].SU等[8]和KRIEG等[9]针对两级多产品的看板控制制造系统提出了一种基于分解的近似评估方法，用于分析在生产时间和准备时间都服从指数分布时,系统的平均完工率、平均需求率及平均库存等指标对系统的影响.刘东波等用模糊数学相关知识描述了市场需求和内部制造能力的不确定性[10].LANEZ等使用S结构图和线性规划模型，解决了批处理车间生产过程及市场需求变动给计划带来的随机问题[11].

本文将研究外协生产能力不确定的情况下，外协在制品的库存水平及运输在制品到外协企业的时间延迟，对在制品的平均库存成本及外协系统能力平均损失率的影响，用控制策略来控制生产成本，以便最大限度地降低库存成本，充分地利用外协能力.

1 系统模型建立

1.1 系统模型

本文将外协生产能力的生产系统简化为包含两个机器和一个缓冲区(2M1B)的流水生产模型.其中：M1为内部系统；B为缓冲库存，其容量是H；M2为外协能力不确定的外协系统，τ为从B到M2的运输时间延迟.流水生产模型的工作流程为：物料流持续从外界进入M1，经M1加工进入缓冲库存B，然后经时间τ进入工序M2，在M2加工后脱离系统(图1).

为研究方便，对系统模型提出如下假设：①系统为单阶段单产品类型的生产系统；②B到M2的运输时间延迟为τ，M1到B的运输时间忽略，不考虑运输成本；③物料不易损坏，M1不饥饿，M2不发生阻塞；④半成品由第一级系统运往缓冲库存，以及由缓冲库存向第二级系统提供半成品期间的运输无故障；⑤M1的故障依赖于操作故障，即其停机待命的时间(无论饥饿还是阻塞)不会失效；⑥缓冲库存的容量H足够大.

M2的生产能力不确定，其生产能力为Q(t).这里可以把M2看作对B的需求，且这种需求是不确定的.当M2需要时，B中的在制品就会运到M2,否则就会留在B中保管，M2持续按生产能力Q(t)从缓冲库存B中获取在制品.当缓冲库存B为空或库存数量小于需求时，M2处于缺货状态.若M1在t时刻的正常生产率为μ(t)，设α(t)为M1在t时刻的生产状态，则当α(t)=1即系统运转时，μ(t)会在0与生产率最大值U(即最大生产能力)之间变化，即0≤μ(t)≤U；当α(t)=0即系统故障时，μ(t)=0.设U大于最大的外协能力Qmax(即U≥Qmax)，且系统的平均生产率也大于最大的外部能力，即[U×MTBF/(MTBF+MTTR)]≥Qmax.这里，MTTR和MTBF分别为系统的平均恢复时间和平均失效间隔[12]，且MTTR为常数，MTBF为变量.将Q(t)设为高生产能力状态Qh和低生产能力状态Qd.两种状态的生产能力满足Qh>Qd；状态Qh与状态Qd是离散的，且两种状态之间转换的时间间隔服从指数分布.设k为Qh到Qd的转换概率，s为Qd到Qh的转换概率，β(t)为t时刻的生产能力状态，并且，令β(t)=0表示Qd状态，β(t)=1表示Qh状态，则根据连续时间离散事件状态马尔科夫稳态分布可得：

(1)

M1可能会出现故障而停产，当α(t)=1时系统运转，当α(t)=0时系统停产，且两种状态转换的时间间隔服从指数分布，r为0到1的转换概率，p为1到0的转换概率.同理，可得M1故障及运转状态的稳态概率分布，即

(2)

1.2 系统控制机制

本文使用阈值策略来描述所研究的系统，假设x(t)为缓冲库存B在t时刻的库存水平，z(t)为M2的需求剩余，则

(3)

阈值控制规则如下：

(4)

其中,C≥0且为整数，代表阈值点(其单位为：件).

若内部系统M1处于运转状态，在z(t)低于阈值点C时,则其能生产最多的产品；在达到阈值点C时，内部系统生产率等于此刻的外协能力Q(t).而当内部系统M1处于故障状态或B中在制品水平高于阈值点C时，内部系统处于停产状态.

2 系统的目标模型

2.1 平均库存成本模型

降低成本可以降低产品价格，提高企业的经济效益，而库存成本则是主要的影响因素之一.本文通过建立系统的目标模型来确定阈值点C，以便降低平均库存成本.T时间段的平均库存成本S(C)满足下式：

(5)

式中，CB，Ch分别为单位库存持有成本和缺货成本，且CB≥0，Ch≥0.

根据式(3)和式(4)，针对任意时刻t，有

(6)

μ(t)可以通过式(4)确定，Q(t)则根据稳态的概率分布随机获得.因此,平均库存成本S(C)又可表示为：

(7)

2.2 外协系统能力平均损失率模型

本文使用需求剩余z(t)来描述外协系统能力.根据式(3)可得：

(8)

E′=P(0)Qd+P(1)Qh

(9)

(10)

(11)

(12)

当z(t)≥0,即有库存剩余时，缓冲库存B能够满足M2的需求，这时M2的生产能力损失率就是0(利用率为100%)；当z(t)<0时，缓冲库存B不能满足M2的需求，此时就发生了M2生产能力的损失，且损失率为需求缺失在制品数量与生产能力总需求量的比值.

3 系统的数字仿真

3.1 仿真实现

设系统的运行时间为24 h，平均库存成本为一天内的库存成本.首先按照已建立的数学模型，在eM_Plant 10.1环境里建立仿真模型，然后利用其自带的仿真语言SimTalk进行编程，最后进行仿真.系统工作的时间单位为s，数量单位为件，投料速度及工作状态由所建数学模型的控制策略来确定.系统的相关运行参数如表1所示.

将时间延迟分别设置为20 min、25 min和30 min，阈值点C在[0,160]变化时各进行160次仿真.其仿真结果如表2所示.

表1 系统的相关运行参数

表2 阈值点C在[0,160]变化时仿真的结果

在Qh=Qmax，Qd、U值等按表3设置，而其他原始数据不变时，根据第一组数据(即时间延迟为20 min)进行160次仿真试验.

表3 Qd、U等参数的设置 件/h

每次仿真实验中设置不同的阈值点C和不同的时间延迟τ，并进行多次仿真.

3.2 仿真结果与分析

对仿真结果进行处理，可得表4所示的不同阈值点及不同运输时间延迟的平均库存成本及外协系统能力平均损失率.

特定生产条件(设最大生产能力U为200件/h，Qh=Qmax=80件/h，Qd=50件/h，运输时间延迟为20 min)下，不同阈值点的平均库存成本及外协系统能力平均损失率如表5所示.

从表4可看出：当C∈[0,15]，且C值不变时，随着运输时间延迟τ的变大，缓冲库存的平均库存成本与外协系统能力的平均损失率都有所下降；当C∈[16,160]，且C值不变时，随着运输时间延迟τ的变大，缓冲库存的平均库存成本与外协系统能力的平均损失率都有所升高.

表4 不同阀值点及不同运输时间延迟的平均库存成本和外协系统能力平均损失率

表5 特定生产条件下不同阈值点的平均库存成本和外协系统能力平均损失率

从表4可看出：当C∈[0,15]时，在C值不变的情况下，随着τ在一定范围内增大，缓冲库存中的需求剩余z(t)≥0出现的次数有所增加，而缺货即z(t)<0出现的次数则逐渐减少，且因单位缺货成本大于库存持有成本，所以平均库存成本会有所下降；运输时间延迟τ的变大，使得库存逐渐充裕，不但缺货次数不断减少，而且每次缺货的量也在减小.分析可知：随着运输时间延迟τ的适当增大，最终所求的相同阈值点下平均库存成本不断减小；由于缺货量不断减小，因此外协系统能力的平均损失率也不断减小.从表4还可看出：当C∈[16,160]时，在C值不变的情况下，库存持有大于缺货状态的次数；若C值变大，库存的持有量会随着运输时间延迟τ的增大而不断增大，库存成本也会增大.但同时，由于缺货次数和缺货量的减少，外协系统能力的平均损失率呈下降趋势.

从表5可看出，在运输时间延迟τ一定时，随着阈值点C的不断增大，平均库存成本和外协系统能力的平均损失率都发生了变化，并且这种变化呈现出一定的规律性.所有阈值点C对应的目标值在一些区间内是相同的，且目标值在整个变化过程中存在若干极值点，可在这些极值点中获得最优值.分析可知，表4和表5的最优值分别为C=120件和C=150件所对应的目标值.

4 结束语

本文使用统一建模语言构建系统模型，采用系统仿真的方法模拟在外协系统能力变动情况下，阈值点和运输时间延迟对平均库存成本和外协系统能力平均损失率指标的影响.对仿真结果的分析可知，选择适当的阈值点和运输时间延迟值，可以降低平均库存成本和外协系统能力平均损失率.协作企业可综合各外协企业能力的实际情况，建立类似的系统仿真模型，通过仿真来最大限度地降低库存成本，完善对生产管理的决策，达到降低成本、增加效益的目的.