改进的复合材料细观模型周期性边界条件施加方法

王 庆 姚 俊 谭文禄 潘惠惠

(中电建水环境治理技术有限公司，广东 深圳 518102)

0 引言

复合材料的这些微细观尺度上的非均质性对材料的宏观物理力学行为具有很大的影响。目前用于计算复合材料宏细观性质之间关系的方法主要分为解析多尺度分析法和计算多尺度分析法[1,2]。解析多尺度方法主要有自洽法[3]、Mori-Tanaka法[4]，单胞法[5]、均匀化方法[6]等。计算多尺度分析法按照宏细观模型的计算和信息传递方式的不同可以分为递阶法[7]、准—协同法[8]和协同法[9]。解析多尺度方法只能计算简单的微细观结构和本构模型，而计算多尺度方法则不受限制，因此其应用越来越广泛。

计算多尺度方法中宏细观模型之间传递的物理力学信息会直接影响计算结果，其中宏观模型向微细观模型传递信息是通过周期性边界条件来实现的。目前微细观模型周期性边界条件的施加方式主要分为降温法[10]和位移法[11]两种。降温法，是指将宏观模型积分点上的应变通过温度应变的方式施加到微细观模型上。位移法，则是通过在微细观模型上施加位移约束来产生应变场。目前位移法在复合材料的性能计算中有一定的应用[11,12]，但在施加边界条件过程中容易出现过约束的问题，因此有必要提出一种消除过约束问题的周期性边界条件施加方法。

1 降温法的缺陷

图1中是一个大小为(1×1×1)mm3的特征单元(RVE)，加固纤维是一个半径为0.3 mm，长度为1 mm的圆柱体。其中基质是一种弹塑性损伤材料，弹性模量和泊松比分别为70 GPa和0.3，屈服强度为40 MPa，而加固纤维为一种弹性材料，弹性模量和泊松比分别为380 GPa和0.2。在y方向施加1.0e-3的温度压应变，得到如图2所示的应变云图。从图2中可以看出，基质中的应变基本为压应变，但是加固纤维中会出现拉应变，这与事实不符合。

2 位移法的基本原理

位移法的基本思想是将细观模型的位移Δu(x,y)可以看作是一个周期波动函数和宏观位移的和，形式如下：

Δu(x,y)=Δv(x,y)+ΔE(x)×y

(1)

其中，Δv(x,y)为一个周期性波动函数；ΔE(x)为宏观应变。

假设细观模型RVE的尺寸分别为α,β和γ，如图3所示。宏观应变为ΔE，将周期性边界条件式(1)作用到RVE上相应的两个面上，拿法向为y1轴的两个面举例说明，其位移为:

(2)

(3)

(4)

对于图3中的M和N点来说，式(4)可以表达为:

(5)

其中，Δu的上标为节点自由度，下标为对应边界上的两个节点。式(5)中的表达式的形式是一个线性方程，而且是对节点自由度的约束方程，其一般形式为:

(6)

(7)

至此，通过引用参考点，我们可以用自由度约束方程的方式来施加周期性边界条件。这种方法可以非常方便的推广到多场问题，区别是自由度除了位移自由度外，还有例如温度，孔隙水压力等自由度。

3 改进的周期性边界条件施加方法

约束方程要将RVE边界面上的节点与参考点约束起来，但是由于不同面之间会有共同的节点，在长方体的RVE中，每条棱被两个面共有，每个顶点被三个面共有，这些点可能会被重复的约束。

以图4中的三维RVE为例，与自由度1有关的约束方程为:

(8)

将式(8)变形成矩阵形式，其系数矩阵的秩为7。也就是说约束方程中只有7个是相互独立的。式(8)中第4式加上第(11)式减去第(12)式可以得到第(1)式。

(9)

同理，第(7)式加上第(11)式再减去第(9)式可以得到第(5)式:

(10)

第(7)式减去第(4)式加上第(2)式可以得到第(8)式:

(11)

第(2)式加上第(9)式减去第(10)式可以得到第(3)式:

(12)

第(12)式加上第(8)式减去第(10)式可以得到第(6)式:

(13)

其他自由度的约束方程也可以用类似的方法消除多余的约束。

4 算例

细观模型的大小，材料参数与图1中模型相同。为了与降温法进行对比，将改进的位移法周期性边界条件施加到y方向，宏观应变大小为-1.0e-3。应变结果如图5所示，从图5中可以看出，由位移法施加的周期性边界条件计算得到的细观模型不存在反向应变的现象，其中加固纤维的应变状态与图2完全相反，呈受压状态，更符合实际情况。

5 结语

通过实例发现降温法施加细观模型周期性边界条件时，会出现反方向应变，影响计算多尺度方法的准确性。本文在位移法的基础上，消除了过约束，克服了位移法应用时会出现过约束的问题。算例中将该周期性边界条件施加到与降温法相同的细观模型上，发现不再存在反向应变，应力场更符合实际。该方法对解决计算多尺度方法中的细观模型边界问题有一定的意义，但该方法依赖于细观模型的周期性网格的问题有待解决。