寻问题根源，觅解题佳径

梁淑颖

摘 要：文章通过分析学生在解决“分段计费”这一类问题时出现的错误，在寻因的过程中反思日常教学中教师在教学观念和教学行为方面存在的误区，以此提出从例题重构、几何直观、题组对比三方面入手，对 “分段计费”这一类问题的探讨与再思考。

关键词：“分段计费”;错因分析;再思考

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-03-05 文章编号：1674-120X（2019）24-0069-02

一、“分段计费”问题的错因分析

在一次五年级数学模拟考中，出现了这样一道“分段计费”题目：某校五（1）班42名师生照相合影，给每人印一张照片，一共需要付多少钱？[合影定价为30元（含5张照片），每加印一张2元]批改后发现：全班42人，其中有10人出现了错误，得分率是76.1%。这道题目与书本P18 练习题中第7小题类型相同，表达方式也相似，但结果却不尽如人意。这是为什么呢？

我翻阅了学生的试卷，主要有以下的错误如图一。

从表面上看，学生的错法是五花八门，探其根源却都是在理解题意上出现了偏差。

而在《义务教育教科书教师教学用书（数学）五年级上册》第26页的编写意图中提到，例题9意在“结合现实生活中乘出租车付费问题，进一步提升学生解决问题的能力，经历解决问题的过程，初步体会函数思想”。教学建议中也提示可以抓住“行驶里程和收费标准”来理解题意，借助观察“行驶里程和车费之间的联系及变化”渗透函数思想。由此可见，“理解题意”是解决这类题型的重中之重。

但在日常教学中，我们却发现教师在引导学生解决这一类问题时，却存在以下误区。

（一）重视对“分段”的理解，忽视对“整体”的把握

这一类的题目都统称为分段计费，因为它们是分段函数的雏形，实际上就是“对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数”。有的教师被这种类型的名称固定了自己的思维，在教学中过分地强调分段，而忽略了对“一个函数”这个整体的把握，导致学生对分段一词非常熟悉，但对于什么时候需要分段，对谁进行分段却非常模糊，甚至出现为分而分的现象。

（二）只按例题套路走，忽视举一反三

题目如下：

（1）打固定电话每次前3分钟内收费0.3元，超过3分钟，每分钟收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）。妈妈一次通话8分15秒，她这次通话费用是多少？

（2）打固定电话每次前3分钟内，每分钟收费0.3元，超过3分钟，每分钟收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）。妈妈一次通话8分15秒，她这次通话费用是多少？

从题目上看，第一小题与例题基本相似，而第二小题则出现了微小的变化。但是呈现题目时，全班42名学生中有5名学生认为这两道题题目是一样的，有3名学生认为不太清晰，也就是有接近20%的学生因为题目的表述出现了微小的变化而导致出错。学生认为“与例题不一样”而造成错误，探其根源，是对分段计费中自变量x的变化把握不到位，只关注与例题相同的地方，而忽视了举一反三与深入的研究。有的学生甚至对解答这种类型的题目的方法是“死记硬背”，稍有变化就无从下手。

（三）扼杀学生个性思考

从教材“分析与解答”的呈现中我们不难发现，这种类型的题目还可以用假设法进行思考——先假设全路程的单价都相同再加上前一部分少算的部分。实际上无论用哪种方法，它的本质都是以“一个函数”为整体进行研究，只是对于自变量x的取值进行了微调。但在实际教学中我们发现，教师对于这种解题方法是粗略带过或视而不见，而学生对于这种方法也是一知半解，这扼杀了学生的个性思考。

面对这样的问题，我们又该如何解决呢？

二、“分段计费”问题的再思考

（一）例题重构，从特殊到一般，帮助学生理解题意

在数学学习的过程中，从特殊开始，通过特殊的情况探讨解题的思路或过程，再在一般的情况下得出结论，这是小学数学学习中经常使用的归纳法。借助这种方法，有利于帮助学生在第一次接触这种“分段计费”的问题时弄清楚题意，找准“整体”。因此，例题可以重构如下：

出租车收费标准： 3km以内7元，超过3km，每千米1.5元（不足1km按1km计算）

（1）行程2km，乘客要付多少钱？（2）行程2.3km，乘客要付多少钱？

（3）行程3km，乘客要付多少钱？（4）行程5km，乘客要付多少钱？

（5）行程6.3km，乘客要付多少钱？（6）行程8.7km，乘客要付多少钱？

通过不断变化的总里程数，教师帮助学生重点理解“3km以内7元”和“超过3km”的具体含义。同时在找准整体也就是总里程的基础下，结合具体的情境引导学生进一步分析什么时候要分段，什么时候不需要分段，以此顺理成章地引出“分段点”。这样，通过从特殊到一般的层层深入，教师能逐步帮助学生理解题意，初步建立解决这一类问题的审题步骤。

（二）借助几何直观，帮助学生建立分段函数的雏形

以上述例题为例，可以把题目简化成以下的线段图，帮助学生结合图形进一步理解整体与分段点，从图形中理解分段点的作用如图二。

还可以利用函数图形展现分段计费的结果，让学生初步、直观感知分段函数的图像，再次体会“整体”与“分段点”的关系，结合图像理解题意如图三。

车费/元

里程/km

（三）归类分析，明确本质，举一反三

笔者把此类问题做了如下的分类与设计：

题组一：

（1）某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元;超过12吨的部分，每吨3.8元。小云家上月用水量为17吨，应缴水费多少元？

（2）某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内25元;超过12吨的部分，每吨3.8元。小云家上月用水量为17吨，应缴水费多少元？

题组二：某市居民用电按阶梯收费，收费标准如表一。

（1）小明家上月用电230千瓦时，电费是多少？

（2）小华家上月用电260千瓦时，电费是多少？

（3）李强家上月用电420千瓦时，电费是多少？

说明：本题改編自《义务教育教科书教师教学用书（数学）五年级上册》P38 第（4）小题。此题组包含多种类型，一是不需要进行分段计费，二是要进行两段或多段的分段计费。意在强化学生对信息的提取能力，以及对分段点的判断能力，学生要分几段进行针对性的练习。

题组三： 邮局印刷品收费如表二。

（1）小明寄一本重540克的书给本埠同学，应付邮费多少元？

（2）小华寄一本重540克的书给外埠同学，应付邮费多少元？

说明：本题取材于学生日常生活的情境，意在发挥线段图的作用，凸显数形结合在解决此类型题目时的价值。

题组四：某停车场的收费标准如下：停车2小时以内（含2小时）收费10元，超过2小时部分，每0.5小时收费3.5元，不满0.5小时按0.5小时计算。

（1）王叔叔在这个停车场停车3.2小时，他要缴停车费多少元？

（2）王叔叔在这个停车场停车3.8小时，他要缴停车费多少元？

“分段计费”这一类的问题虽然千变万化，但其实万变不离其宗，教师从例题重构、几何直观、题组对比三方面入手，有助于学生理解题意，更好地解决 “分段计费”这一类的问题。俗话说“教无定法”，作为教师，我们需放下身段，善于从学生的点滴错误中寻找根源，并以此回头审视我们的教学，不断摸索最适合的方法，以促进学生的发展。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]陶 强.分段函数：“分身”不“分心”解决方法研究[J].教育界（综合教育研究版），2018（1）：132-133.