对新定义考题的解题研究与教学思考——以南通2019年中考卷第28题为例

☉江苏省海安市城南实验中学 朱月凤

新定义考题是近年来不少地区命题热点，这类问题往往从一个定义出发，通过增设强化条件，组合成复杂的综合难题，解题时需要深入解读新定义、深刻理解新定义，并灵活运用.本文以2019年江苏南通中考新定义压轴题为例，解析思路并跟进教学建议，供研讨.

一、新定义考题及思路突破

考题：定义：点（x，y），若x、y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且

x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，例如：点（0，-2）和（-2，0）是“线点”.

已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）.

（1）P1（3，1）和P2（-3，1）两点中，点______是“线点”.

（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围.

（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A、B，当|∠POQ-∠AOB|=30°时，直接写出t的值.

思路突破：（1）直接代入定义中提到的两个等式运算后可确认点P2是“线点”.

（2）提供两种思路.

思路1：由“线点”定义可得：

m2=2n+t ①，

n2=2m+t ②.

①-②，得（m+n）（m-n）=2（n-m）.因为m≠n，所以m+n=-2.

①+②，得m2+n2=2（m+n）+2t，配方得（m+n）2-2mn=2（m+n）+2t.

把m+n=-2代入，得4-2mn=-4+2t，整理得mn=4-t.

由m+n=-2，得点P（m，-m-2）.代入x2=2y+t，有m2=2（-m-2）+t，整理得t=m2+2m+4=（m+1）2+3.

当m=-1时，n=-1，这里m=n，不舍题意，舍去.

当m≠-1时，都有t＞3.

综上，t＞3.

思路2：由m+n=-2，得点P（m，-m-2）.代入x2=2y+t，有m2=2（-m-2）+t，整理成关于m的一元二次方程m2+2m+4-t=0.

由该方程有实数根，得Δ=4-4（4-t）=4t-12≥0，解得t≥3.

当t=3时，解得m=-1，此时m、n相等，故t≠3.

综上，t＞3.

思路3：由点P（m，n）是“线点”，得m2=2n+t，n2=2m+t，则m2-n2=2（n-m），m2+n2=2（n+m）+2t.又m≠n，则m+n=-2.（n+m）2-2mn=2（n+m）+2t，则4-2mn=-4+2t，则mn=-t+4.由m≠n，得（m-n）2＞0，即（n+m）2-4mn＞0，则t-3＞0，解得t＞3.则t的取值范围为：t＞3.

（3）先初步解读条件，由于点P（m，n）、Q（n，m）也为线点，所以点P、Q在直线y=-x-2上且关于直线y=x对称（如图1），结合|∠POQ-∠AOB |=90°，可 得∠POQ=60°或∠POQ=120°.

以下提供三种思路进一步分析.

图1

思路1：分两种情形讨论120°或60°的情形.

①若∠P1OQ1=120°，先求得P1O=.由点P1（m，-m-2），得m2+4+4m+m2=8，即m2+2m-2=0.即2-2m=2（-2-m）+t，解得t=6.

②若∠P2OQ2=60°，先求得P2O=.由点P2（m，-m-2），得m2+4+4m+m2=，即=0.即=2（-2-m）+t，解得t=

思路2：①若∠P2OQ2=60°，易知△P2OQ2为正三角形，可求出点又点Q2的坐标满足x2=2y+t，代入后解得t=

②若∠P1OQ1=120°，△POQ为等腰三角形，分析出点.又点Q1的坐标满足x2=2y+t，代入后解得t=6.

思路3：（基于高中圆的方程的视角）由点P（m，n）、Q（n，m）也为“线点”，得点P、Q在以O为圆心、r=的圆上.由|∠POQ-∠AOB|=90°，得∠POQ=60°或∠POQ=120°.

②当∠POQ=120°时，半径OP=2（-x-2）=6.

二、解后反思与教学建议

这道新定义考题表述简洁，阅读量不大，但思维量大，解题教学时要辨明解题难点、关键步骤，然后预设必要的铺垫带领学生攻克难点.

先说第（2）问.这一问的难点或关键步骤有三处.第一处关键步骤是通过数式方程的变形求解分析出m、n之间的数量关系m+n=-2，这不仅对这一问的求解非常关键，而且对于下一问的探究十分重要，因为这个数量关系揭示了所谓“线点”P所在直线的方程.第二处关键是消去参数，将t用含有m或n的式子表示出来，借用方程或函数观点进行最值分析.第三处关键在于t=3要舍去，只能取t＞3，这是一个易错点，因为需要对条件m、n不可能相等再次使用.想清辨明上述关键步骤，有助于教学时在这些关键步骤上预设一些铺垫问题，帮助学生顺利解答.

再说第（3）问.这小问的关键步骤至少有四处.第一处关键步骤是想清点P、Q都是“线点”，且它们关于直线y=x对称，这是引导学生初步感受P、Q两点位置的关键，如果这一点都没有辨明，则起点不清，难以构图.若学生没有发现它们都是线点，教学时要引导学生：“有人说点P、Q都是线点，你同意他的说法吗？”第二处关键步骤是确认“线点”P、Q在直线y=-x-2上，这是由上一问中提出的m+n=-2成果扩大而来的，这样就可以将点P、Q的位置关系想清，然后结合角度关系式，就能精准定位点P、Q的位置了.第三处关键步骤是需要分类讨论∠POQ为60°或120°的情况.不少考生容易漏解，对绝对值符号表示的关系式思考不深.第四处关键步骤是计算能力要过关.因为涉及15°角的边角关系，需要构造图形，转化为含30°角的三角形进行分析求解.

三、关于新定义考题的解题研究与教学思考

近几年各地新定义考题成为一个热点题型，开展相关解题研究十分必要，同时针对新定义考题的教学研究也值得深入思考.

1.明辨新定义的本质或结构是解题关键

新定义考题往往是结合初中阶段原有的一些定义或性质进行整合、包装而成，这时需要明辨新定义的本质或对应图形的本质特征，然后灵活运用新定义进行解题.解决这类问题的难点在于理解新定义，并灵活运用.因为数学教学过程中，关键就是带领学生新学一类数学概念，学生往往对旧知或旧概念有较强的依赖，难以适应新的概念.根据教学经验，进入初中新学方程之后，有些学生仍然会依赖小学阶段的算术解法；全等三角形学习后期会引出角平分线的性质定理，但学生往往不能简化运用，所以在新定义解题研究时，往往会出现这类思维障碍.

2.新定义考题往往需要精准构图分析

新定义之后随着解题条件的增设，往往需要考生继续构造图形分析，而很多考生往往是图形构造不出来，或者图形构造不准，影响思路获得.像上文中的新定义考题一样，有些考生并没有分析出“线点”所在直线的方程或两个“线点”关于直线y=x对称，这样构造图形不成功，思路也就难以打开.再比如，北京地区的很多新定义考题，往往都与一些轨迹圆有关，而且有时还会出现“大小同心圆”的情况，如果这些“同心圆”不及时准确分析出来，当然不利于思路获得.

3.新定义考题教学时要预设铺垫问题

新定义考题多有一些关键步骤或易错点，这就要求我们在开展新定义考题解题教学之前要认真研判、明辨关键步骤，基于班级学情想清学生的易错点，然后针对这些易错点、关键步骤进行铺垫式设问，设计这些铺垫问题不只是帮助学生顺利解决一道新定义题，更重要的是通过铺垫式问题，让学生学会在以后独立面对一些较难问题时，知道从哪些地方入手思考，如何发现较难题的解题思路或念头，如何利用条件或定义揭示的结构组合在一起获得进展，怎样防范易错点，如何审校答案的严谨与规范，等等.也就是通过解题教学让学生学会思考（想得更合理、更高效）.