平均数教学的实践与思考

台州学院 丁虹尹

平均数作为一组数据整体情况集中趋势的代名词，应用于数学的方方面面。虽然不是实质的数字，但又的确来源于个体数据，反应真实情况。平均数算法的多样化，其算理和算法作为知识起点衍生出的内容，以及平均数与个体数之间的联系，都是值得思考的地方。

本文的灵感来源于锦园小学两位老师分别执教的《平均分》和《平均数》，听完后我对于“平均数”进行了一些思考，并将自己的想法整理记录下来。文章将围绕“平均数”与“个体数”，对它们的两种计算方法（移多补少、总数均分）以及相互关系进行讨论。

一、个体数与平均数在不同学段的呈现方式

（一）低段教学，出现平均数概念，但不突显

在小学阶段，学生初次接触到平均的概念是二年级学习“平均分”的时候。平均分意味着把总数分成若干份，使得每份都一样。举一个例子：“将15个桃子平均分给3个小朋友，每人可以得到几个桃子？”我们知道答案是每个小朋友都可以得到5个桃子，然而我觉得，这5个桃子还有一个更深层次的作用，它应该让小朋友意识到，这样的分法的的确确做到了公平公正、数量一样，所以这个5不单是每人分到的桃子的个数，即我们称之为“个体数”，它还体现了每个小朋友都是分到一样多，是平均的，所以这个5也是这些小朋友所拥有的桃子数量的“平均数”。因此，在平均分的过程当中，个体数和平均数在数值上是相等的。与平均数类似性质的还有在高年级的时候会学到的分数，例如1/3，就是把1平均分成3份，1/5就是把1平均分成5份，每份都是一样多的。而大部分的学生为什么都会有这样的感觉：1/3+1/5的结果应该不是把分子和分子相加，分母和分母相加，即得到2/8，就是因为这样的加法违背了“平均”的概念，两个个体数之间不存在直接的关系，由此想到把1/3和1/5都分得再细一些，再小一些，而且使得每一份的数量都要一样，因此把个体数都变成1/15，1/30,1/45，…，使得两个分数的分数单位达到“平均一致化”，然后再相加，即得出方法：异分母分数相加，应该先通分。

（二）高段教学，突显“平均数”的意义

学生初次接触到“平均数”的概念是在四年级下册第90页例一：小红、小兰、小亮、小明各收集了 14、12、11、15 个瓶子，整个小队平均每人收集了多少个？在刚才低年级的情境中我们可以知道：“5”这个数字既可以代表每个小朋友分得的桃子数量，也可以用来表示他们每人分得桃子的整体情况；而在这个情境当中，想要用一个数字来表示4个同学收集瓶子的整体情况，“平均数”的意义和作用就自然而然地显现了出来，因为平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是反应数据集中趋势的一个指标，形象地说，是很多不同个体数形成集合的“法人代表”。正因为平均数在数学中有着广泛的应用，由此也衍生出了“算术平均数”、“几何平均数”、“调和平均数”、“加权平均数”、“平方平均数”、“指数平均数”等，每一种平均数都有着其独特的计算方法和作用。而在小学数学中，我们所讲的平均数一般指的是算术平均数。

二、求平均数的两种方法的区别和联系

这里面就涉及到了两种求平均数的方法，一种方法是“移多补少”，另一种方法是利用“总数÷数量”（我们简称“总数均分”）得到。利用这两种方法都可以求得平均数，因此我们在教平均数的时候都会习惯性地把这两种方法一起说，但是仔细思考之后，我认为两种方法其实是不太相同的，因为求平均数的操作有两步，分别为“分”和“数”，两种方法的区别也就在此体现。

（一）“移多补少”是先分后数的过程

举一个生活中的例子，如何把一堆总数不知道的硬币平均分成4份（假设正好能够分完）。我们可以采用“移多补少”的方法：先把这堆硬币叠起来任意分成4份，然后通过对每一堆进行增加或者减少达到平均分配。但其实我们在分好了之后并不知道每一堆硬币到底有几枚，只不过我们知道这样的分法的确已经使得每一堆的数量都一样了，至于平均数到底是多少，我们还是要通过“数一数”的办法去验证。因此我认为“移多补少”准确地来说是先均衡个体差异，而非直接求出平均数的大小。在现实生活中，类似的例子还有不少，比如挑扁担、分试卷等，这种方法比较适合于实际操作，或者能估出平均数的情况。

（二）“总数均分”是先数后分的过程

例如：求全班这一次数学测试的平均分是多少？我们肯定会选择数全班同学的分数相加再除以全班的人数，得到班级平均分。因为这时候，“移多补少”这样的方法在实际中就有很大的局限性：第一，将抽象的分数转化成可以进行移补操作的图，需要花费很长的时间；第二，数据太复杂，平均数估不出来，而且极大可能出现除不尽的情况。生活当中很多平均数的问题都是像这样个体数庞大、平均数又不是整数的，所以“总数均分”这种方法是求平均数最通用、最直接的办法。和“移多补少”比较，它的特点是不需要考虑个体数之间数量、大小的差异，因此比较适合于个体数量较多，比较抽象，或者不容易直接看出平均数的时候。

（三）在不同题型中，两种算法的优化对比

例如：例1：甲班43人，乙班35人，那么这两班的平均人数是几人？

算式：①（43+35）÷2=39（人）（总数均分）

②43-35=8 8÷4=2 43-4=39（移多补少）

例2：甲班43人，乙班35人，丙班42人，那么这三班的平均人数是几人？

算式：①（43+35+42）÷3=40（人）（总数均分）

②42-39=3（人）3÷3=1（人） 39+1=40（人）（移多补少）通过例1、例2，我们可以发现：在计算平均数时，“总数均分”较为简单，“移多补少”比较麻烦。

再例如：例3：甲、乙两班平均39人，甲班43人，比乙班多几人？

算式：①39×2-43=35（人）43-35=8（人）（总数均分）

②（43-39）×2=8（人）（移多补少）

例4：甲乙两班平均39人，甲班新来2人，这时两班平均几人？

算式：①（39×2+2）÷2=40（人）（总数均分）

②2÷2+39=40（人）（移多补少）

通过例3、例4，我们可以发现：在计算个体数、局部个体数变化求平均数时，“总数均分”较为麻烦，“移多补少”比较简单。

因此，归纳起来就是：“移多补少”体现的是个体差异，最适应于求个体数问题，“总数均分”最适用于求平均数问题。但两个方法也可以互通，因为平均数和个体数之间存在着互相依存的关系，我们在计算中，需要根据具体情况选择合适的方法。

另外，结合高年级的二元一次方程来看，两种方法也有共通的地方。举一个例子：A+B=40，A-B=18，求A,B各是多少？如果我们把（A+B），（A-B）都看成一个整体的话，那么求A的方法就是（40+18）÷2=29，也就是说，A 就是（A+B）和（A-B）的平均数，这个求法体现的就是“总数均分”的方法；那么求B的最简方法呢？应该是用（40-18）÷2=11，这个方法在实质上体现了“移多补少”的思想，B就是（A+B）需要取出来补给（A-B）的那部分。

（四）对于“平均数”起始课的一点想法

实习期间曾经听两位不同年级的班主任聊起她们两班的人数：老师甲：“我们班 35 人，你们班呢？”老师乙：“43。”如果是从两位班主任的角度出发，她们自然而然想到的是“我们两个班相差8人”，但作为一个局外人，又是一名未来的数学老师，我想到的问题还有“那么她们两个班的平均人数是多少？”然后脑子里面的第一反应就是：43-35=8 8÷4=2 43-4=39，35+4=39。相信有不少的老师在遇到类似的问题时也会有和我一样的想法，只不过在我们的教材当中没有体现出来。因为我们在教平均数的第一节课，出现的就是4个个体求平均数，学生基本上会采用“总数均分”的方法。因为个体数量太多的原因，使得“移多补少”变成了只是让学生体会“用平均数可以表示这4个数据的整体情况”这个概念，但在真正计算的时候却没有将算理转化成算法，弱化甚至消除了“移多补少”算法的可行性。

因此结合学生的认知起点和学情分析，我在实习过程中尝试上了一节技能练习课，内容是《利用移多补少方法求3个数的平均数》，感觉对于学生思维的拓展有一定好处。所以有个想法就是，在四年级学生刚开始学习平均数的时候，是不是可以先从个体数为2个的开始教起，这样在不影响学习“平均数”意义的基础上，更能让学生在学习的过程中，感悟两种计算方法的思维逻辑区别。

联系以后要学的很多数学内容，我们会发现很多知识都是在研究2个个体和它们的平均数之间的关系。举几个例子：①求等差数列的平均数：例如1、2、3…99、100的平均数，实质上就是求1和100或者2和99…这些由2个数组成的数组的平均数；②浓度问题：甲瓶酒精溶液浓度为50%，乙瓶酒精溶液浓度为30%，混合后溶液的酒精浓度为35%，请问甲乙两瓶溶液的体积之比是多少？其中混合液浓度的实质也就是两瓶酒精溶液浓度的平均值；③函数对称：若点（x1，y1）和点（x2，y2）关于直线y=kx+b对称，那么x1，和x2的平均数x0以及y1，y2的平均数y0肯定落在这条直线上；④解二元一次方程：对于ax2+bx+c=0，利用十字相乘法进行因式分解其实就是以b作为平均数，然后调节a和c这两个系数的因数，使其符合要求。

三、个体数与平均数相互依存的对应关系

（一）个体数对平均数的影响

1.从大小上看，个体数对平均数的影响是相同的

若一组数据 1、2、3、…n，不管当中的某个数据增加 a，则平均数也会增加，增加的大小为a/n；反之，某个数据变小b，平均数也会变小b/n，即六年级将会初步接触到的反比例函数。

2.从数量上看，个体数会影响平均数的稳定性

个体数越多则单个个体对平均数造成的影响就越少；反之，个体数越少，平均数就越容易受到影响。这个也很好理解，若个体变化量为a，则平均数的变化量为a/n，当n越大，那么a/n的值就越小。

3.从大小、数量所形成的变化来看

我们可以用一组对比题型说明：

（1）张叔叔前一小时跑了4400m，后一小时跑了4000m，平均每小时跑了多少米？

（2）李叔叔前1小时跑了4300m，后两小时每小时跑4100m，平均每小时跑了多少米？

题（1）只涉及到大小对于平均数的影响，题（2）还涉及到了数量对于平均数的影响，这也是很多同学容易做错的地方。生活当中还有一些类似的判断题：箱子里有20袋面包，每袋面包的净含量为100g±5g，那么这些面包每袋的平均净含量是100g。这道判断题是错误的，但可能会有不少学生只考虑个体大小却没有考虑数量而导致做错。

另外，“数量”还可以衍生到别的词，例如百分比：商场一等奖的得奖率是5%，奖金100元，二等奖的得奖率是15%，奖金50元，三等奖的得奖率是25%，奖金10元，我们就可以根据已知信息得到中奖的期望值；此外浓度问题也是相当于把数量看成百分比，这里就不再举例。

（二）平均数对个体数的反馈作用

1.平均数反映了个体数集合的整体情况

在统计中，平均数常用于表示统计对象的一般水平，是描述数据集中位置的一个统计量。用它既可以反应一组数据的一般情况和平均水平，更可以用来进行比较不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。例如比较小明和小红两人的1分钟跳绳成绩平均分：小明的五次成绩为：121、143、130、132、141，小红因为生病少跳一次，四次成绩为：127、131、145、138。在两人的测试次数不相同的情况下，比较平均数就成了较为公平的方法。

另外还要补充一点，就是比较平均数必须是在每一次机会均等的情况下，不然也是有失偏颇的：例如把这五次的跳绳成绩看成满分为150分的数学测试，因为测验的难度有别，假设小红缺考的这次正好是试卷比较简单（或者比较难）的，那么单求平均数的方法就不太公平，应该根据难度对试卷进行权重计算求出平均数，这个计算也属于平均数对于个体数集合的反映。

2.在数轴上，平均数使得所有个体数距离它的左趋近和右趋近之和相等

假设数轴上有两个点为a和b，且a＜b，它们的平均数是c，则 a，b 是关于 c点对称的，且 c-a=b-c。

（1）举一个简单的例1：若两个数的平均数是1008，一个数是1006，则另一个数是（1010）（括号中为题目应该填写的答案）。因为在数轴上，1006在1008的左边，比1008少2，那么想要使得有个数和1006相结合得到平均数1008，这个数必须在1008的右边，而且比1008多2才行，因此是1010。

（2）接下来把两个点换成三个点变成例2：若三个数的平均数是1008，第一个数是1006，第二个数是1005，则第三个数是（1013），因为左趋近之和为（1008-1006）+（1008-1005）=5，所以右趋近之和也要等于5，即1008+5=1013。当然用1008×3-1006-1005也是可以的，这种计算方法的特点是适合个体数比较大，但和平均数又比较接近的时候，中学知识里面有一块求平均数的内容就运用到了与此相关的知识。

（3）例1还可以稍微变形成例3：若两个数的平均数是1008，一个数比1006小，则另一个数（比1010大），这样可以通过一个不等式，将所有合理的数据进行归纳。

3.平均数无法表示个体数

尽管研究平均数对于一个整体有着非常重要的作用，但平均数的理论意义大过现实意义，因此单单看平均数是不够的，不然我们就会被它“欺骗”。例如：一个池塘的平均水深是1.1m，那么小明身高1.3m是不是下去就没有危险了？我们都知道答案是否定的，因为池塘的最大水深可以完全可以超过1.3m，例如最大水深1.6m也是合理的，尽管这个个体数值和平均数1.1m相差了很多，属于极端数，但也是我们需要考虑的因素。这就有些类似“价格围绕价值上下波动”，但也不妨碍有些产品因为特殊的原因卖出天价。我们要根据实际的情况进行极端数的取舍，例如刚才的问题，我们需要通过平均数去思考极端数，而在一些比赛打分上，可能会用去掉“最大最小数”的方法来消弭极端数对于平均数的影响。

综上所述，“平均数”涵盖的方面很广泛，是很多知识的起点，其中涉及到了数据计算、函数图像、解方程、概率分析等。在我看来，平均即一种“平衡感”和“公正感”，每个人都会有这样的感觉，而我们需要做的就是不断让学生在不同的年龄层次深化这种感觉，加强数感，提升数学思维和精细化的计算能力。目前平均数的教学到了四年级就戛然而止，因此学生只习惯了利用“总数均分”求平均数，但是对于“移多补少”方法的学习，以及反过来利用平均数求个体数的能力比较缺乏，这种只会套用公式计算以及从“个体数”到“平均数”的单向性思考模式使得两者间形成了因果而不是双向联系。而正如上面所说，“平均数”与“个体数”之间的关系应该是互相依存的，它们的计算方法也是很多数学思维的载体。在提倡培养学生核心素养的大环境下，基于学生的认知和学情分析，我觉得我们更应该有的放矢，不单要在四年级引导学生体会“平均数”的本质涵义，也要在更高的学段围绕这个概念，对于“平均数”、“个体数”之间的换算问题找到多样化的解决方法。