论化归思想在数学中的重要性

摘要：数学是一门神秘又重要的学科，它在自然界中发挥了无与伦比的作用，所以对学生来说，学好数学是我们一项极为重要的任务。不仅仅是为了升学考试，更是为了体验数学学科的魅力。下面，就让我们来探讨一下数学中的一种思想方法：化归思想。

关键词：化归思想;数学教学;规律

化归思想，顾名思义就是将各种数学符号不断变换而形成的思想。它主要应用在函数解题中，也会应用于处理实际问题。它的主要目的就是寻求规律。让我们来看一道十分经典的例题。

问题背景：x（0

由第一人开始，轮流说出方案，而这个方案通过需要半数及以上的人支持，否则，此人会被杀死。再由第二个人说方案，以此类推，原则是：①尽可能得到多的钻石;②把前面的人杀死。如果①与②冲突就选择①，如果你是第一个人，你会怎么样分才可以获得最多钻石？通过研究获得了以下数列：而且对于x个海盗（0≦x≦y）分y个钻石同样适用，数列变为：

100

100  0

99  0  1

99  0  1  0

98  0  1  0  1

98  0  1  0  1  0

97  0  1  0  1  0  1

97  0  1  0  1  0  1  0

96  0  1  0  1  0  1  0  1

96  0  1   0  1  0  1  0  1  0

95   0   1   0   1  0  1  0  1  0  1

95   0   1   0   1   0  1  0  1  0  1  0

：

：

：

可见，如果继续写下去，仅需将上面的0变为1或1变为0即可

y

y   0

y-1  0   1

y-1   0   1   0

y-2   0   1   0   1

y-2   0   1   0   1   0

：

：

在學习函数时我们认识到一种函数为周期函数，它具有这样的特性：

f（x+T）=f（x）

那么如果出现f（x+a）=f（x+b）呢？如何解决本题？

我们可以将x替换为（x-b），那么该表达式即为f（x+a-b）=f（x），即（a-b）为f（x）的周期，有f（x+a）=-f（x）①

则-f（x+a）= f（x）②

将①中的x替换为（x+a），①中f（x+a）→f（x+2a）

即为f（x+2a）=-f（x+a）③

联立②③可解得f（x）=f（x+2a）T=2a

而在上文的海盗分赃问题中，如果将规则改为奇数位的海盗希望获得利益，偶数位的海盗希望排除异己，即杀死排在前面的海盗，然后获得最大利益，第一个海盗将如何做才会获得最大利益？

毫无疑问，第一行 100

而第二行：（因为半数以上通过即可，没有必要分）100  0 从第三行开始，情况有所不同，因为排在最后一位的海盗无论想要得到什么，都没有选择的余地，而如果按正常思路来，他捞不到任何好处，而如果给他分1个钻石，他会支持，而偶数位的海盗不必分任何数目的钻石都会想杀掉第一个，所以这就可以假设第一个人被杀死，第二个人（当然为了获取最大利益）该怎么分，就可以使用上一次的分法推断，这边利用了数学中化归的思想。

100

100  0

99  0  1

99  0  0  1

98  0  1  0  1

98  0  1  0  0  1

97  0  1  0  1  0  1

97  0  1  0  1  0  0  1

96  0  1  0  1  0  1  0  1

96  0  1  0  1  0  1  0  0  1

95  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1

95  0  1  0  1  0  1  0  1  0  0  1

94  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1

具体来说，化归也就是一种寻求规律的行为，在数学中，特别是竞赛以及高难度题目上，寻求规律是一种常用又高效的方法。

补：解本题的推理假设方式，令第一个人给自己分配钻石为t

t

t  0

（99  0  1）←t（100  0）

（99  0  0  1）←t（99  0  1）

（98  0  1  0  1）←t（99   0  0  1）

（98  0  1  0  0  1）←t（98   0  1  0  1）

（97  0  1  0  1  0  1）←t（98  0  1  0  0  0）

根據这个三角形思维导图，我们便可以假设出人数为n时，第一个人如果死后，第二个人便会以第一个人在人数为（n-1）时的方法，找到无法获取钻石的人，给予1个钻石即可。

很明显，在无论两种规则中，100-0的次数每个数字均为两次，我们可以将规则变换后的三角数列拆分开来，会发现后一部分几乎是无关量，而前一部分与第一个规则所产生的数列十分相似，这就足以证明化归代换在数学中的重要性了。当然，本人在数学方面的造诣仍需提高，在这两个数列以及化归思想有很多理解不当或不够深入之处，还请各位读者谅解。人们总会从一个个实际问题中联想到数学，并从中发现并创造各种理论，这也是数学的魅力之所在，她用自己伟大的力量证明了规律的存在，并带给人们以发现问题的喜悦与充实。相信在不久的将来，数学一定会带领人类不断进步，我国的数学事业也将会为科技强国的宏伟蓝图埋下坚实的基础，而真理的浩瀚海洋还正在等着我们去探索发现！

作者简介：王瑞泽（2003.06.01—）男，民族：汉，籍贯：陕西省西安市临潼区，学校：西安市第八十三中学。