涡轮叶片模糊响应面可靠性分析方法

潘承怡 魏文龙 张春宜

摘 要：为提高涡轮叶片可靠性分析的精度，在考虑输入变量模糊性和极限状态模糊性的基础上，提出了结构可靠性分析的模糊响应面法（fuzzy response surface method，FRSM）。首先，采用等价转换的方法，将带有模糊性的输入变量转换为当量随机变量;然后，基于二次多项式响应面函数，建立结构可靠性分析的模糊响应面数学模型。利用蒙特卡洛法对该模型进行大量的联动抽样，得到叶片应力、径向变形的均值及方差;最后，基于概率积分法计算事件失效概率及模糊随机可靠性指标。分析结果表明，叶片的可靠性指标随模糊系数的增大而减小;与传统基于随机变量的方法相比，该方法对不确定性的描述更为合理，理论上对可靠性的评估更为准确。

关键词：模糊性;可靠性分析;模糊响应面法;涡轮叶片;航空发动机

DOI：10.15938/j.jhust.2019.04.011

中图分类号： TB114.3

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2019）04-0065-06

Abstract：In order to improve the reliability analysis precision of turbine blades， the fuzzy response surface method （FRSM， Fuzzy Response Surface Method） of structural reliability analysis is put forward considering the fuzziness of input variables and limit states. First， using the method of equivalent transformation， the input variables with fuzziness is converted into equivalent random variables. Then， the mathematic model of fuzzy response surface for structural reliability analysis is established based on the quadratic polynomial response surface function. The mean value and the variance of the stresses and radial deformations of the blades were gained through a lot of joint sampling of the model using the Monte Carlo method. Finally， the event failure probability and the fuzzy random reliability index are calculated based on the probability integral method. The analysis result shows that the blade reliability indexes decrease with the increase of fuzzy coefficient. Compared with the traditional method based on random variables， this method is more reasonable for the description of uncertainty， and the evaluation of reliability is more accurate theoretically.

Keywords：fuzziness; reliability analysis; fuzzy response surface method; turbine blade; aero-engine

0 引 言

航空发动机叶片运行环境恶劣，经常出现打伤、折断等故障，其根本原因在于不能充分认识不确定因素的影响。不确定性在工程中主要分为两种：随机性和模糊性。随机性是由于因果关系不充分而形成的一种不确定性，表现为因果律的缺陷而造成的结果不可预知性;模糊性是指事物的差异在中介过渡过程中表现出的一种亦此亦彼性，表现为排中律的缺陷而导致事物的边界不清晰。由于研究对象的特殊性，叶片在运行中含有温度、转速、材料密度、重力加速度等大量的不确定性因素，如果不考虑这些因素不确定性的影响，就会导致许多在定值法计算条件下推断为安全的叶片运行状态，在叶片的实际运行中却发生了破坏。因此，在航空发动机叶片的可靠性分析中必须考虑不确定性因素的影响。

考慮随机不确定性的可靠性分析称为随机可靠性分析。目前，人们对随机可靠性分析方法的研究已较为充分，并且已经在水利、土木建筑、地质等领域得到广泛的应用[1-4]。近几年来也开始应用于机械结构的灵敏度分析、不稳定分析和风险评估等领域[5-8]，出现了以响应面法（response surface method， RSM）为基础的随机可靠性概率分析方法[9-12]。响应面法[13]作为数学方法和统计方法的结合产物，在随机可靠性分析中占有重要的地位，可以很好的处理复杂结构中含有不确定性变量的情况。例如费城巍等基于响应面法研究了航空发动机叶片在多随机变量的情况下叶尖径向变形的可靠度，并得出了影响径向位移变化的主要因素[14]。张春宜、白广忱等将模态法与多体动力学相结合，把多个动力参数作为随机输入变量建立了极值响应面（extremum response surface method， ERSM），通过极值响应面法对两连杆柔性机械臂结构进行了可靠性分析，并得出极值响应面法具有高精度和高效率的特性[15]。然而，上述基于随机不确定性进行的可靠性分析都是在概率假设及双状态假设的基础上，并没有考虑模糊性的影响，这在实际情况中并不很合理。如基于概率论的随机可靠度分析不能考虑工程经验及先验知识;在小样本条件下，由概率论与数理统计方法所得到参数统计值的置信度较低，即变量存在一定的模糊性;对于多数非脆性结构，其安全与失效之间也不存在绝对的界限，即极限状态存在模糊性。因此，应将模糊不确定性引入到可靠性分析中，建立模糊可靠性分析模型。目前，模糊可靠性已经逐渐深入到机械工程中，如吕震宙、董玉革等考虑基本变量的模糊性，根据应力强度干涉理论，分别研究了强度模糊-应力随机、强度随机-应力模糊及强度模糊-应力模糊时的可靠度分析方法[16-17]。宋军等考虑极限状态具有模糊性，提出计算失效概率的矩方法及子集抽样法[18-19]。在文献[16-19]所述的模糊可靠性分析中，虽然考虑了模糊因素的影响，但其计算结果都是在概率密度函数已知的情况下进行积分得到的解析解，在变量较多无法得到概率密度函数的情况下无法求解;而且把输入变量与状态变量的模糊性分开进行研究，没有同时考虑二者在系统中的影响。

本文在同时考虑了输入变量与状态变量模糊性的基础之上，结合响应面高精度与高效率的特性，提出了基于模糊响应面法（fuzzy response surface method，FRSM）的涡轮叶片可靠性分析。以某型航空燃气涡轮发动机叶片为例，考虑输入变量模糊性和极限状态模糊性的共同影响，把叶片运行时所受温度和转速作为随机输入变量，材料密度和重力加速度作为模糊输入变量[14，20]，叶片的最大径向变形量及最大应力作为输出响应，对叶片进行可靠性分析，并对FRSM和RSM计算结果进行了比较。

1 可靠度分析的模糊响应面法

1.1 模糊响应面

由于模糊原理在可靠性分析中尚未形成比较完善的理论，因此需要将可靠性分析中的模糊变量等价转化为随机变量，再采用响应面方法来求解基本变量存在模糊性时的可靠性问题。本文采用了熵等价转换法[21]对模糊变量进行转换，此方法的优点在于它能适用于多变量的情况并且能将模糊变量直接转化为正态随机变量，可方便的应用于随机可靠性分析。熵表征的是变量的不确定性程度，熵等价转化的原理就在于模糊变量的不确定性程度与随机变量的不确定性程度相等。

1.2 模糊极限状态的模糊随机可靠性分析

设基本输入变量X=[X1，…，Xn]，由模糊响应面得到对应极限状态下的响应函数为Z=g（X）。在随机可靠性分析中，用极限状态函数描述零件的状态，即Z>0，表示零件处于安全状态;Z<0，表示零件处于失效状态;Z=0，表示零件处于极限状态。这样，可用下式计算零件的失效概率和可靠度。

3 结 论

本文基于模糊概率理论，进行了同时考虑基本变量和极限状态模糊性的航空发动机涡轮叶片的可靠性分析。对于基本变量的模糊性，采用熵等价法将其转换为模糊随机变量;对于极限状态的模糊性，先采用模糊概率理论求解其模糊失效概率，再反求模糊随机可靠度指标。用模糊响应面代入有限元模型进行失效模式分析，在响应未知的情况下，由于考虑了模糊因素的影响，其方法更加贴近实际情况，并且模糊响应面函数还承接了传统响应面的高精度特性，因而提高了航空发动机涡轮叶片的可靠性和安全性计算水平。算例分析表明：

1）基本变量和极限状态的模糊性对结构的模糊随机可靠度指标有较大的影响，当模糊变量的模糊宽度系数wx增加时，结构的可靠性指标有所减少;当极限状态的模糊宽度系数k增加时，结构可靠性指标也有所减少;当k=0时，则为极限状态函数Z不考虑模糊性的影响。

2）通过分别考虑随机因素和模糊因素在叶片可靠性分析中的影响，得出了对响应面进行上万次联动抽样统计后，应力的模糊可靠性比随机可靠性小0.015%，叶片变形的模糊可靠性比随机可靠性小0.006%，说明与传统基于随机变量的方法相比，该方法对不确定性的描述更为合理，理论上对可靠性的评估更为准确。

参 考 文 献：

[1] GURVICH M R， PIPES R B. Probabilistic Strength Analysis of Four-directional Laminated Composites[J].Composites Science and Technology，1996，56（6）：649.

[2] PUGH C E， BASS B R， DICKSON T L. Role of Probabilistic Analysis in Integrity Assessments of Reactor Pressure Vessels Exposed to Pressurized Thermal-shock Conditions [J]. Engineering Failure Analysis， 2007，14（3）：501.

[3] LU Q， LOW B K. Probabilistic Analysis of Underground Rock Excavations Using Response Surface Method and SORM [J]. Computers and Geotechnics，2011， 38（8）： 1008.

[4] KARTAL M E， BASAGA H B， BAYRAKTAR A. Probabilistic Nonlinear Analysis of CFR Dams by MCS Using Response Surface Method [J]. Applied Mathematical Modeling， 2011， 35（6）： 2752.

[5] 劉志全. 航天器机械可靠性特征量裕度的概率设计方法[J]. 中国空间科学技术，2007（4）：34.

[6] FITZPATRICK C K， BALDWIN M A， RULLKOETTER P J， et al. Combined Probabilistic and Principal Component Analysis Approach for Multivariate Sensitivity Evaluation and Application to Implanted Patellofemoral Mechanics[J]. Journal of Biomechanics， 2011，44（1）：13.

[7] ALESSANDRO Z， MICHELE B， ANDREA D A， et al. Probabilistic Analysis for Design Assessment of Continuous Steel-concrete Composite Griders[J]. Journal of Constructional Steel Research， 2010， 66（7）：897.

[8] NAKAMURA T， FUJII K. Probabilistic Transient Thermal Analysis of an Atmospheric Reentry Vehicle Structure[J]. Aerospace Science and Technology， 2006， 10（4）：346.

[9] TAN Xiaohui， BI Weihua， HOU Xiaoliang， et al. Reliability Analysis Using Radial Basis Function Networks and Support Vector Machines [J]. Computer and Geotechnics， 2011， 38（2）：178.

[10]CHO S E. Probabilistic Stability Analyses of Slopes Using the ANN-based Response Surface[J]. Computers and Geotechnics， 2009， 36（5）：787.

[11]EOM Y S， YOO K S， PARK J Y， et al. Reliability-based Topology Optimization Using a Standard Response Surface Method for Three-dimensional Structures [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2011， 43（2）287.

[12]李昌，韩兴.基于响应面法齿轮啮合传动可靠性灵敏度分析[J]. 航空动力学报，2011，2 6（3）：711.

[13]潘锋，朱平. 面向约束优化的改进响应面法在车身轻量化设计中的应用[J]. 机械工程学报，2013，49（9）： 55.

[14]费城巍，白广忱. 航空发动机涡轮叶片径向变形的概率分析[J]. 航空发动机，2012，38（1）： 17.

[15]ZHANG C Y， BAI G C. Extremum Response Surface Method of Reliability Analysis on Two-link Flexible Robot Manipulator[J]. Journal of Central South University of Technology， 2012， 19：101.

[16]吕震宙，孙颉，徐友良. 机械机构系统模糊可靠性分析的数字计算方法[J]. 机械工程学报. 2005， 41（9）： 19.

[17]董玉革，赵征权. 模糊可靠性分析的一次二阶矩法[J]. 合肥工业大学学报（自然科学版）， 2005，28（9）： 980.

[18]宋军，吕震宙. 考虑状态模糊性时广义失效概率计算的矩方法[J]. 工程力学，2008， 25（2）： 71.

[19]陈磊，吕震宙. 基于子集抽样的模糊失效概率分析新方法[J]. 机械强度，2008， 30（1）：58.

[20]张春宜，路成，费成巍. 航空发动机叶片的极值响应面法可靠性分析[J]. 哈尔滨理工大学学报，2015，20（2）： 1.

[21]CHAKRABORTY S， SAM P C. Probabilistic Safety Analysis of Structures under Hybrid Uncertainty [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2007， 70（4）： 405.

[22]肖盛燮，王平義，吕恩琳. 模糊数学在土木与水利工程中的应用[M]. 北京：人民交通出版社，2004：42.

[23]谭晓慧，胡晓军，吴坤铭. 极限状态模糊性的边坡模糊随机有限元可靠度分析[J]. 岩石力学与工程学报，2009， 2（28）：3953.

（编辑：温泽宇）