悬链线方程的推导与应用

张华杰 易洪荣 王豪 梁吉雷

摘  要：文章主要研究悬链线的一般形态问题，基于对悬链线的受力分析，给出了悬链线一般方程与标准方程的推导过程。针对适用于海洋工程系泊系统的锚链设计，构建了近海观测网在不同情况下的数学模型，展示如何利用迭代算法和约束条件，求解近海锚链形态。

关键词：悬链线方程;受力分析;迭代算法

中图分类号：U662         文献标志码：A        文章编号：2095-2945（2019）26-0173-04

Abstract： This paper mainly studies the general morphology of catenary. Based on the force analysis of catenary， the derivation process of general equation and standard equation of catenary is given. Aiming at the anchor chain design suitable for marine engineering mooring system， this paper constructs the mathematical model of offshore observation network under different conditions， and shows how to use iterative algorithm and constraint conditions to solve the shape of offshore anchor chain.

Keywords： catenary equation; force analysis; iterative algorithm

现实生活中存在各种各样的曲线，悬链线就是其中的一种。悬链线是一种常用曲线，物理上用于描绘悬在水平两点间的因均匀引力作用下的软绳的形状，因此而得名（图1）。

1 悬链线方程的推导

为方便受力分析，本文先讨论悬挂点等高时，即相邻悬挂点无高差时铁链的受力情况。根据对称性，本文取一半的铁链进行分析，如下：

本文以等高悬挂着的铁链（以下称为悬链）的最低点为原点建立如图2所示的直角坐标系，同时假定悬链与两端悬挂点均在同一平面内，悬链为连续质量均称可均匀形变的柔链。故可将悬链设为y=f（x），设点A为铁链上任意一点（x，y），悬链OA段分别受到A点沿切线方向往上的拉力F，自身所受重力G以及最低点水平向左的拉力T，将受力关系放入一个三角形中可得（图3）：

因悬链处于静止状态，由静力学平衡条件可知悬链OA段各方向上的分解受力必然平衡，即：

如图6所示，近浅海观测网系统由浮标和系泊系统组成。某型传输节点的浮标系统可以简化为重为m1=2000kg高为h=2m底面半径为r=1m的圆柱体，锚链长L=22.05m单位质量为ρ1=7kg/m。现将该型近海观测系统布放在水深为H=18m，且海床平坦、海水密度为ρ2=1.025×103kg/m3的海域中。若此时海水静止，分别研究海面风速为v=12m/s和v=24m/s时的锚链形态，近海风荷载可以通过近似公式F=0.625×Sv2（N）计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积（m2），v为风速m/s。

首先我们要对锚链在海中的可能形态进行分析：

（1）锚链未被全部拉起，有部分锚链拖在海床上

（2）锚链刚好被全部拉起，与海床夹角刚好成0度

（3）锚链被完全拉起后与海床成一夹角a2

因不清楚当风速为12m/s和24m/s时锚链是否被完全拉起，无法直接对锚链进行受力分析。故假设锚链刚好被完全拉起，先对情况2进行分析，求出临界风速：

3 结束语

本文主要对悬链线方程进行推导与研究，给出了悬链线方程的一般表达式，演示如何使用约束条件和迭代算法解决近海锚链的形态问题。因主要讨论锚链形态而简化了模型，忽略海水流力等其它因素对浮标的影响，故在实际设计分析时应對其他影响因素逐层分析讨论，不可一味忽略。目前近海系泊系统的设计与优化为我国近海观察检测提供了实用的理论，对近海船舶作业具有重要意义，是我国现今热门的研究方向，而未来研究方向则需更多地考虑海中多种因素对锚链影响以及锚链材料的选择问题。

参考文献：

[1]刘峥锐.悬链线方程在近海单点系泊系统设计中的应用[J].内蒙古科技与经济，2017，11：120-122.

[2]何英豪，朱雨薇，韩冰凌.基于悬链线方程的系泊系统分析[J].工业设计，2016，11：136-137.

[3]胡灵斌，唐军.悬链线方程的求解及其应用[J].船舶，2004，1：17-20.