分数阶微积分在非牛顿流体中的应用

姜玉婷

摘  要：隨着分数阶微积分的不断发展，其定义也逐渐得到完善，在工程、物理、生物等领域的应用也越来越广。文章首先介绍了分数阶微积分几种形式的定义及其性质，然后给出了带有分数阶微积分的不同粘弹性流体的本构关系，研究了Oldroyd-B流体在不同参数值下圆管中速度随着时间变化的图像，并对速度变化情况进行了分析。由图像可以发现，分数阶微积分在非牛顿流体中有很好的应用，且能够达到很好的效果。

关键词：分数阶微积分;粘弹性流体;Oldroyd-B流体

中图分类号：O172         文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2019）24-0179-02

Abstract： With the continuous development of fractional calculus， its definition has been gradually improved， and it is more and more widely used in engineering， physics， biology and other fields. In this paper， the definitions and properties of several forms of fractional calculus are introduced， and then the constitutive relations of different viscoelastic fluids with fractional calculus are given. The image of the variation of velocity with time in a circular tube with different parameter values of Oldroyd-B fluid is studied， and the variation of velocity is analyzed. From the image， it can be found that fractional calculus has a good application in non-Newtonian fluid， and can achieve good results.

Keywords： fractional calculus; viscoelastic fluid; Oldroyd-B fluid

引言

随着计算机技术的发展，分数阶微积分在信号处理、粘弹性材料、沈流分析与控制等自然科学与工程的各个领域都有很大应用。当前，分数阶算子的定义主要有Riemann-Liouville型、Caputo型、Grünwald-Letnikov型、Weyl型、Erdelyi-Kober型、Riesz型等[1-2]。经过许多学者的长期不懈努力，分数阶微积分的理论在一定程度上被建立起来。但是目前分数阶微积分的实际应用仍然遇到许多障碍，其中很重要的一个原因是其数学基础仍未完善，一些情况下不同问题所用的定义形式也不相同，并且分数阶导数的傅里叶变换与拉普拉斯变换也存在问题。

从应用的角度看，分数阶导数模型和整数阶导数模型的本质区别在于：对时间而言，整数阶导数所表征的是一个物理或力学过程某时刻的变化或某种性质，而分数阶导数所表征的性质则与该现象的整个发展历史有关。整数阶空间导数描述的是一个物理过程在空间某一确定位置的局部性质，而分数阶导数所描述的性质则与该物理过程涉及的整个空间有关。

本文首先介绍了分数阶微积分的几种不同定义，然后给出了粘弹性流体中几种经典流体的本构关系[3-5]，重点分析了Oldroyd-B流体在分数阶微积分算子取不同值时，圆管中心速度变化的图像。

1 分数阶微积分的定义

现在，基础数学研究和工程应用研究中最常用的有以下四种分数阶微积分的定义：Grünwald-Letnikov型分数阶微积分、Riemann-Liouville型分数阶微积分、Caputo型分数阶微积分和Riesz型分数阶微积分。Grünwald-Letnikov定义是差分格式定义，与Riemann-Liouville等定义比较，该定义较少的被用于数学理论分析。然而，它在微分方程理论和数值计算方面使用较多。Riemann-Liouville定义采用微分-积分形式，在数学理论研究中起着重要作用。为了方便实际问题的建模，在粘弹性材料的研究中引入了另一种分数阶微分的定义，即Caputo型微分。Caputo型定义在建模应用及积分变换中需满足的初始条件以整数阶微积分的形式给出，现在实际问题中广泛应用Caputo型定义。下面给出四种分数阶微积分的定义。其中，α是阶数。

1.1 Riemann-Liouville型

4 结论

本文在分数阶微积分基本理论的基础上，利用分数阶导数建模，给出了圆管中几种粘弹性流体的本构方程，并重点分析了圆管中分数阶Oldroyd-B流体的速度随着不同分数阶参数的变化情况。本文的结果对微流控芯片和实验室芯片等设备的设计和改进具有一定的参考意义。

参考文献：

[1]陈文，孙洪广，李西成.力学与工程问题的分数阶导数建模[M].科学出版社，2010.

[2]祝奔石.分数阶微积分及其应用[J].黄冈师范学院学报，2011，31（6）.

[3]Shaowei Wang， Moli Zhaoa， Xicheng Li， Xi Chen， Yanhui Ge. Exact Solutions of Electroosmotic Flow of Generalized Second-Grade Fluid with Fractional Derivative in a Straight Pipe of Circular Cross. Z. Naturforsch. 2014，69：697-704.

[4]Shaowei Wang， Moli Zhao. Analytical solution of the transient electro-osmotic flow of a generalized fractional Maxwell fluid in a straight pipe with a circular cross-section. European Journal of Mechanics B/Fluids. 2015，54：82-86.

[5]Yuting Jiang， Haitao Qi， Huanying Xu， Xiaoyun Jiang. Transient electroosmotic slip flow of fractional Oldroyd-B fluids. Microfluid Nanofluid.2017，21：7.