试探周期函数的最小周期区间定义

彭飞 王平

[摘  要] “周期性”是函数的重要性质之一，三角函数y=sinx是研究函数周期性质的重要载体. 由对函数y=sinx的周期性质等问题的研究，提出定义在R上的周期函数的最小周期区间的定义，并对函数最小周期区间的定义加以应用.

[关键词] 周期;周期区间;定义;数学运用

“周期性”是函数的重要性质之一，高中阶段周期函数重要的模型则是y=sinx，然而有不少学生对y=sinx的周期区间的认识比较模糊. 笔者试在对函数y=sinx的最小周期区间思考的基础上，提出定义在R上的周期函数的最小周期区间的定义，不当之处，还望指正.

问题呈现

笔者近期听了一节公开课，公开课的主题是《正弦函数的图像》. 课中的这样一个问题引起笔者的注意. 开设公开课的教师在课堂中提出了这样一个问题：“函数y=sinx的周期是2π，那么我们可以首先画出函数的一个周期的图像，然后再根据周期函数图像的性质，将其进行复制，就可以得到整个函数的图像了，那么我们应该选择怎么样的一个周期呢？”，学生的答案多种多样，其中有两个答案引起了笔者的兴趣，答案如下：[0，2π]，[0，2π）. 开设公开课的教师在讲课时，则是选择了[0，2π]. 课后研讨时，笔者与授课教师交流后得知，授课教师是源于课本的原因，因为苏教版《普通高中课程标准试验教科书数学必修4》（以下简称“苏教版必修4”）中这样写道：“由于y=sinx是以2π为周期的周期函数，故只要画出在[0，2π]上的图像，然后由周期性就可以得到整个图像.” [1] 那么这两个区间都是表示一个周期的区间吗？他们有区别吗？课本规定了画出[0，2π]，难道就不可以先画出[0，2π）的图像吗？

依据教材，辨析两个区间

1. 周期函数的定义域必无界

苏教版必修4中给出了函数的周期定义如下：“一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个值x，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.” [1]

从苏教版必修4教材中给出的周期函数的定义可知，周期函数的图像具有“周而复始”的现象，苏教版必修4在课文中特别提出：“易知2π是正弦函数和余弦函数的周期，4π，6π，…以及-2π，-4π，…都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数2kπ（k∈Z，且k≠0）都是函数的周期.” [1]  由此得出周期函数的周期并非唯一，周期函数的周期有正有负，也就说明周期函数的图像必须是向两端不断地“复制、粘贴”，由此可以得出周期函数的定义域必须是无界的 [2]， 这一点可以在最近几年的江苏高考试题中得到验证，本文将在第四点中加以说明.

2. 函数y=sinx周期区间为[0，2π]的重要性

根据上述定义及说明，苏教版必修4教材中指出，由于y=sinx是以2π为周期的周期函数，故只要画出[0，2π]上的图像，笔者姑且称此处的[0，2π]为函数y=sinx的周期区间. 借助三角函数线，可以将[0，2π]的图像绘制出来，然后再将其向两端复制、粘贴，在此不妨先将图像向右复制、粘贴. 当把[0，2π]的图像向右复制时，可以清晰地看到原来x=0所对应的点与x=2π所对应的点重合，那就说明在教材提出的周期区间[0，2π]里面的x=0或者x=2π所对应的点是多余的，可以省去.倘若将[0，2π]变为[0，2π），再将图像复制、粘贴过来时，则不会有多余的点，那么课本为什么会做这样的安排呢？

（1）学生认知水平的需要. 由具体教学实践可知，苏教版必修4的教学是安排在高一上学期，也就是在学生刚刚进入高中不久的时间内. 而刚刚进入高中的学生认知水平的能力有限，加之学生第一次接触周期函数y=sinx的图像，自然对y=sinx图像的连续性认识不够，而当把[0，2π]的图像复制过来时，原来x=0所对应的点与x=2π所对应的点重合，函数图像在两个周期之间自然而然就连接起来，整个函数的图像就连续了，潜移默化中加强了学生对函数y=sinx连续性的认识.

（2）五点法作图的需要. 刚开始学习函数y=sinx时，函数y=sinx的图像是借助三角函数线画出来的，绘制过程较为烦琐，为了简化作图过程，教材在后续的教学中提出了五点作图法. 五点作图法能够快速准确地画出函数y=sinx的大致图像，五点法作图选择了x=0， ，π， ，2π所对应的五个点，若是周期区间为[0，2π），则x=2π对应的图像是个空心点，教学时不利于构建五点作图法. 五点作图法是在三角函数线之后简化而成的，所以为了后续的教学的需要，教材就有必要将周期区间设置为[0，2π].

3.函数y=sinx的周期区间设为[0，2π）更为合理、精准

出于教学需要的考虑，将函数y=sinx的一个周期区间设置为[0，2π]着实很有必要，但是在周而复始的过程中也确实有一个点多余. 也就是说，周期区间[0，2π]上有多余的数值，即多出了0或者是2π，可以将其中一个在此区间中去掉，周期区间即变为[0，2π）或者是（0，2π]，此时这个周期区间就是最小的了. 在后期教学时，教师可以引导学生对此区间再认识，将函数y=sinx的周期区间设为[0，2π）或者（0，2π]更为合理、精准，笔者认为可以称此区间为最小周期区间.

根据理解，提出定义

上述对函数y=sinx的最小周期区间的思考，是基于不重复不遗漏的原则来考虑的，以这样一個重要的周期函数的最小周期区间为模型，笔者在此斗胆提出定义在R上的周期函数的最小周期区间并加以应用.

引：区间长度的定义：对于区间[a，b]，（a，b]，[a，b），（a，b），则b-a为区间长度.

函数最小周期区间的定义：已知周期函数的定义域为R，对于定义域中的非开区间D，若区间D内的每一个x，x+T都不在区间D内，且区间D的长度为T，则称区间D为最小周期区间，其中T为最小正周期.

说明：由定义可以看出，定义在R上的周期函数的最小周期区间应为半开半闭式区间，且最小周期区间的个数为无限个，而最小正周期区间只有一个，即为（0，T]. 如：若函数y=f（x）的周期是2，则函数y=f（x）的最小周期区间应为[0，2）或者（0，2]或者（-1，1]等等，其中（0，2]为最小正周期区间.

应用定义，解决问题

1. 命题严谨性中的应用

例1：（2015年江苏高考卷第11题）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f（x）=x+a，-1≤x<0， -x，0≤x<1，

其中a∈R. 若f- =f ，求f（5a）的值.

解题分析：例题1给出的函数是一个定义域为R的周期函数，这一点充分说明了周期函数定义域的“无界性”，以下几道试题均是如此，不再重复做说明;同时，由于函数y=f（x）的周期为2，例题中给出了[-1，1）上的具体解析式，题目中的条件f- =f 可以通过周期函数的定义，转化为f- =f ，从而解决本题中的唯一参数.

解：因为y=f（x）是周期为2的周期函数，故f- =f 可转化为f- =f ，即- +a= - ，解得a= ，所以f（5a）=f（3）=f（-1）=- .

评注：由周期函数最小周期区间的定义可知，题目给出的[-1，1）这样的区间就是最小周期区间，体现了命题者的命制试题的严谨性. 如若给出的区间为[-1，1]，则会产生重复条件，导致该题无解，2014年江苏高考试题的第13题、2018年江苏高考试题的第9题亦有异题同源之意.

2. 挖掘隐藏条件的应用

例2：（2012年江苏高考卷第10题）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=ax+1，-1≤x<0 ，0≤x≤1，其中a，b∈R. 若f =f ，求a+3b的值.

解题分析：本题条件中存在两个参数，需要两个方程才能解决，而从题面上看，似乎题目只给出了一个方程，若是如此，解决两个参数就有困难了. 进一步深入研究题意，函数y=f（x）的周期为2，给出的区间为[-1，1]，由周期函数的最小周期区间定义得出，此区间并非最小周期区间，它比最小周期区间多出了一个值，在“复制，粘贴”图像时必然有重复的点，有重复的点也就意味着有等量关系的存在. 分析至此，隐藏的方程就显露出来了，即为f（-1）=f（1）;再根据函数的周期定义，条件f =f 可转化为f =f- ，联立成方程组即可解决问题.

解：因为y=f（x）是周期为2的周期函数，所以f =f 可转化为f =f- ，即- a+1= ，所以b=-1- a（1）.

又因为f（x）是周期为2的函数，且在区间[-1，1]上有f（x）=ax+1，-1≤x<0， ，0≤x≤1，

所以得到f（-1）=f（1），得到b=-2a（2）.

由（1）（2）联立方程组，可解出a=2，b=-4，故a+3b=-10.

评注：此题给出的区间[-1，1]具有较强的迷惑性，容易使学生误认为这个区间就是最小周期区间，从而无法得出第二个方程来进行求解.在教学中，教师只要引导学生理解了最小周期区间的定义，就能识别出题意中的陷阱，问题也就迎刃而解了.

3. 综合性问题中的应用

例3：（2016届江苏省泰州期末试卷第14题）已知函数f（x）=Asin（x+θ）-cos cos - ，其中A为常数，θ∈（-π，0），若实数x1，x2，x3满足（1）x1

解题分析：对已知的函数f（x）=Asin（x+θ）-cos cos - 运用三角变换等知识，化简可得f（x）= sin（x+α）- . 不妨设f（x1）=f（x2）=f（x3）=k，本题则可理解为y=f（x）的图像与y=k有三个不同交点，并且由条件（1）可以得出，三个交点的横坐标必须在区间[x1，x3]内. 若函数y=f（x）为函数y=Asin（ωx+φ）+m（A>0，ω>0），则函数y=f（x）的周期为T=2π. 又因为x3-x1<2π，很明显区间[x1，x3]应该包含于该函数其中的一个最小周期区间内，由函数图像的变换知识可知，y=k与y=f（x）不可能在一个最小周期区间之内产生三个不同的交点，故此函数并非为函数y=Asin（ωx+φ）+m（A>0，ω>0），由此解决本题.

不妨设f（x1）=f（x2）=f（x3）=k，即为y=f（x）的图像与y=k有三个不同交点，并且由条件（1）可以得出，三个交点的横坐标必须在区间[x1，x3]内.

若函数y=f（x）为函数y=Asin（ωx+φ）+m（A>0，ω>0），则由题意不难得出函数y=f（x）的周期为T=2π. 又因为x3-x1<2π，很明显区间[x1，x3]应该包含于该函数其中的一个最小周期区间内. 由函数图像的变换知识可知，y=k与y=f（x）不可能在一个最小周期区间之内产生三个不同的交点，故此函数并非为函数y=Asin（ωx+φ）+m（A>0，ω>0），所以Acosθ-  +Asinθ-  =0，即Acosθ- =0，Asinθ- =0，

解得θ=- .

评注：本题的本质还是考查函数的周期性质、函数的最小周期区间，只不过命题者适当改变了题意的表述方式. 教学中，其实只要引导学生细心理解题意，转化题意，即可解决本题.

上述即为笔者对定义在R上的周期函数的最小周期区间的一点思考，这样的一点思考或许还有待进一步的推敲，但筆者认为思考的结果并不重要，重要的是思考的过程，只有思考才能提高对教材中概念、定理等的认识，只有思考才能严谨师生的数学思维.

参考文献：

[1]  单墫. 普通高中课程标准试验教科书数学必修4[M]. 南京：江苏凤凰教育出版社，2012：24-26.

[2]  潘劲松，童丽娟. 关于周期函数定义的研究[J]. 湖南师范大学自然科学学报，2012（1）：22-23.