例析高考题中的数学文化渗透

王昊 扬州大学数学科学学院 江苏扬州 225002

随着素质教育的深入发展以及新课程改革的不断演化,人们逐渐认识到数学不仅是一门工具,还是具有内在价值的精神产物和文明成果,数学文化引起了教育界的重视,更多的教师开始关注数学文化的潜在作用.李大潜院士曾说:"数学是一种先进的文化,是人类文明的重要基础",《普通高中数学课程标准(2017版)》指出:"数学承载着思想和文化,是人类文明的重要组成部分."教育部考试中心颁布的2017年数学考试大纲中,正式将数学文化列入高考内容.纵观历年高考题中的数学文化试题,大都是《九章算术》、杨辉三角、斐波那契数列等带有数学史色彩的题目,然而数学文化的意义远超于此【1】,张奠宙教授是这样诠释数学文化的内涵的:"狭义的数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成和发展 广义的数学文化还包含数学家、数学史、数学美、数学教育数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系,等等."基于此,笔者从以下四个方面,例析2019年高考题的数学文化渗透:

一 高考题中的数学文化

1渗透中外数学史

歌德曾说:"一门科学的历史就是这门课学本身",如果没有数学史,数学知识便只剩一堆枯燥的概念、符号、公理和命题.数学史作为试题背景,通常包括古代数学家,古代数学学派,古代数学典籍,古代数学名题等【2】,将数学史融入试题,可以帮助学生加深对数学的理解,提高学习数学的兴趣 可以让学生感受到数学家的科学精神和研究历程 有利于开阔学生的视野,在潜移默化中提高数学素养.

【例1】(全国卷Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例),著名的"断臂维纳斯"便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( )

A165cm B175cm C185cm D195cm

古希腊取得过及其辉煌的数学成就,诞生了亚里士多德、毕达哥拉斯等数学家,出现过众多数学名著,如欧几里得的《几何原本》,书中系统的论述了黄金分割,建立了黄金分割和其它知识之间的联系,黄金分割更是广泛的运用于建筑学和美学之中,将其作为背景,考察学生方程与不等式的知识,符合学生的认知水平,既能够引起学生的解题兴趣,又引导学生关注西方优秀数学文化,增强文化认同感.

【例2】(全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.

我国几何学早在四五千年前开始萌芽,具有悠久的历史,它不仅在理论上追求严密的逻辑证明,更为实际应用提供了公式和算法,有"勾股定理"、《九章算术》、"祖暅定理"、"圆周率"等杰出成就,题中提到的"半正多面体"是西魏将军独孤信印章,印章共有26面,其中正方形印面18个,三角形印面8个,如此精美的设计,正是我国古代几何学丰硕成果的体现.以此为背景考察学生立体几何知识再合适不过,可以促使学生关注我国古代数学文化,让学生了解中国古代数学的伟大贡献,培养民族自信心和自豪感.

2 渗透与其他学科的联系

数学家克莱因说:"数学是人类最高超的智力成就,是人类心灵独特的创作,是一切科学的核心,是可以改变人类物质生活,给与一切的动力."数学与人类生活和社会发展联系紧密,渗透到人们生活的方方面面,是一切自然科学的基础,并在社会科学中发挥越来越重要的作用【3】.适当加强学科之间的融合能够凸显学科之间的本质区别与联系,使数学构建的路径更加丰富,让数学学习变得更加深刻,因此我们必须关注数学与其他学科的联系.

【例3】(北京)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等为-26.7,天狼星的星等为-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )

A1010.1B10.1 Clg10.1D10-10.1

【例4】(全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用"卦"描述万物的变化.每一"重卦"由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻"——"和阴爻"- -",如

图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )

加强数学与其他学科之间的联系不是一种形式,更不是口号,要真正落实和引领,上述两个例子分别体现了数学与天文学、物理学和文学之间的联系,这样的相互渗透有利于学生在更广泛,跨学科的背景下理解数学,它开阔了学生的视野和思维,有利于培养学生的发散思维,培养学生敏锐的数学眼光,加强学生综合运用知识解决实际问题的能力,形成学生对数学的整体认识.

3 渗透数学应用

数学是描述客观世界中空间形式和数量关系的模型,它来源于生活并且作用于生活,是人们生活、劳动和学习的必不可少的工具.在政治、经济、科学等诸多因素的影响下,数学空前的渗透到每个人的生活中.课程标准指出,要"用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界."因此,通过在试题中合理设置情景,渗透数学应用,有利于培养学生利用所学数学知识分析和解决实际生活中的问题.

【例5】(全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.

中国高铁运营里程稳居世界高铁旅程的榜首,是中国人民的骄傲,本题以中国高铁为背景,给出每个事件的概率,引导学生计算频率分布中的平均值.试题的设计源于社会生活,体现了新的课程标准的要求.

【例6】(全国卷Ⅰ)为了治疗某种疾病……约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分 若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,Pi(i=0,1,…,8)表示"甲药的累计得分为 时,最终认为甲药比乙药更有效"的概率,则P0=0,P8=1,Pi=aPi-1+bPi+cPi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(x=-1),b=P(x=0),c=P(x=1).假设α=0.5,β=0.8.

(i)证明:{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列

(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

合理安排实验并对所得结果进行比较,做出统计结论是统计学中常见的题型,这道统计题不同以往的放在了压轴题的位置,以比较两种新药的药效为背景,设计实际问题,第一问考察离散型随机变量分布列的求解、第二问则是利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.试题来源于实际生活,具有较高的现实意义,有利于培养学生分析和解决问题的能力,提高数学应用意识,使学生切实感受数学的价值.

4 渗透数学精神

数学精神是在几千年数学探索实践中形成的精神财富,其内涵在于"理性",数学精神及其内涵是人们在对客观事物进行一系列的分析、抽象、概括、判断的过程中反映出来的,在试题中渗透数学精神集中体现在渗透数学思想方法上.

【例7】(全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)f´(x)为f(x)的导数.证明:

(2)f(x)有且仅有2个零点.

本题第一问考查导数与函数极值之间的关系,需要学生对原函数进行二次求导,再判断导函数在区间上的单调性,根据零点存在定理可判断出,使得g´(x0)=0,进而得到导函数在上的单调性,从而可证得结论.第二问在第一问结论的基础上,增加难度,要求利用导数解决函数零点个数的问题,需要讨论 不同取值下零点的存在情况并且整合在一起才能得出结论.这道试题将导数问题与函数零点问题结合起来,考察了知识的灵活应用,考察学生运用数形结合思想和分类讨论的思想解决问题的能力,解题过程中还涉及到大量的运算,一个符号的错误都有可能导致整个结论的错误,需要学生细心耐心,坚持做下去才能得出正确答案.

【例8】(全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,PD的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为

本题要求三棱锥外接球体积,考察的学生空间想象能力,学生要先证明PB⊥平面PAC,再求得PA=PB=PC=,从而得P-ABC为正方体一部分,进而知正方体的体对角线即为球直径,从而得解.从"正三棱锥"到"正直三棱锥"到"正方体"恰好体现了从一般到特殊的数学思想.

二 反思

教师在教学过程中扮演着重要角色,是学生学习的引导者,因此要让学生理解数学文化,首先要增强教师自身的数学文化素养,这就要求教师具有乐于钻研的学习态度和锲而不舍的科学精神,具有更加开放的格局和更加广阔的数学视野.

高考试题虽然可以渗透数学文化,但其对培育学生数学文化的作用是有限的,更重要的是在教学过程中的渗透:合理创设知识产生的历史背景,体验数学文化的底蕴,在激发学生的学习兴趣的同时,让学生学习数学家勇于探索、不畏艰辛的崇高精神 注重数学思想方法的体现,培养学生客观、理性的数学思维 加强数学与其他学科和实际生活的联系,增强数学的应用性,加强学生对数学学习的整体认知,让学生体会数学应用价值,感受数学文化的力量.